Chủ đề này có 3 trả lời

[foollock holmes]

cho $\triangle{ABC}$ và $ D \in BC. E\in AD$ , đường tròn ngoại tiếp $\triangle{EDB},\triangle{EDC} $ cắt $AB,AC $ lần lượt tại F và G,$H=FD\cap BE,I=SC\cap DG$ , J là tâm ngoại tiếp $\triangle{EBC}$ , Chứng minh $ AJ \perp HI $

[anhquannbk]

cho $\triangle{ABC}$ và $ D \in BC. E\in AD$ , đường tròn ngoại tiếp $\triangle{EDB},\triangle{EDC} $ cắt $AB,AC $ lần lượt tại F và G,$H=FD\cap BE,I=SC\cap DG$ , J là tâm ngoại tiếp $\triangle{EBC}$ , Chứng minh $ AJ \perp HI $

Capture.PNG

Để chứng minh $AJ \perp HI$ ta chứng minh $AH^{2}-AI^{2}=HJ^{2}-IJ^{2}$

[foollock holmes]

Để chứng minh $AJ \perp HI$ ta chứng minh $AH^{2}-AI^{2}=HJ^{2}-IJ^{2}$

mình đã suy nghĩ tới hướng này rồi nhưng khi biến đổi đến $ \frac{HD}{DF}(AF^2+AD^2)=\frac{ID}{DG}(AD^2+AG^2)$ thì bí ạ, bạn có thể gợi ý thêm được không

[anhquannbk]

mình đã suy nghĩ tới hướng này rồi nhưng khi biến đổi đến $ \frac{HD}{DF}(AF^2+AD^2)=\frac{ID}{DG}(AD^2+AG^2)$ thì bí ạ, bạn có thể gợi ý thêm được không

Ta có bổ đề sau:

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Gọi $E$ là giao đểm của $AB$ và $CD$, $F$ là giao điểm của $BC$  và $AD$, $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Khi đó ta có:

$P_{E/(O)}+P_{F/(O)} =EF^{2}$

$P_{E/(O)}+P_{I/(O)} =EI^{2}$

$P_{I/(O)}+P_{F/(O)} =IF^{2}$

Sử dụng bổ đề này với hai tứ giác nội tiếp $BFED$ và $CDEG$  ta có:

$AH^{2}-AI^{2}=P_{A/(O1)}+P_{H/(O1)}-P_{A/(O2)}-P_{I/(O2)}=P_{H/(O1)}-P_{I/(O2)}$ ( Vì $P_{A/(O1)}=P_{A/(O2)}$)

$=HB.HE-IE.IC=P_{H/(J)}-P_{I/(J)}=HJ^{2}-IJ^{2}$

Ở đây $ (O1)$ và $(O2)$ là đường tròn ngoại tiếp của $BFED$ và $CDEG$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 27-03-2016 - 21:22