Chủ đề này có 3 trả lời

[OiDzOiOi]

Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu $S_{n}$ là tổng n số nguyên tố đầu tiên

$S_{1}=2$ ; $S_{2}=2+3$  ;  $S_{3}=2+3+5$, ...

Chứng minh rằng trong dãy số $S_{1}$ , $S_{2}$, $S_{3}$, ... không tồn tại hai số hạng liên tiếp đều là số chính phương  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OiDzOiOi: 27-03-2016 - 22:06

[OiDzOiOi]

Giả sử ngược lại gọi hai tổng đó là $S_n=x^2,S_{n+1}=y^2$  (quy ước $x,y$ nguyên dương)
Khi đó $S_{n+1}-S_n=p$ (quy ước $p$ là số nguyên tố) 
Hay $(y-x)(y+x)=p$ suy ra $y-x=1,y+x=p$ từ đó suy ra $y=\frac{p+1}{2},x=\frac{p-1}{2}$ 
Suy ra $\sqrt{S_n}+\sqrt{S_{n+1}}=\sqrt{p^2}$ . Điều này xảy ra chỉ khi $S_n=0$ (vô lí)
Vậy ta có đpcm

sao lại xảy ra chỉ khi $S_{n}=0$ thôi hả bạn

[OiDzOiOi]

có thể làm như này 

$y=\frac{p+1}{2} \Rightarrow S_{n+1} =(\frac{p+1}{2})^2$

Mà do $n \geq 2 \Rightarrow S_{n+1}=(2+3+5+...+p) \leq (1+3+5+...+p)+2-9-1=1^2-0^2+2^2-1^2+3^2-2^2+...+(\frac{p+1}{2})^2-(\frac{p-1}{2})^2-8 < (\frac{p+1}{2})^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OiDzOiOi: 27-03-2016 - 22:57

[hthang0030]

Đề thi chuyên khtn năm 13-14