Chủ đề này có 2 trả lời

[ductuMATHER]

Cho phương trình: $x^{4} - 2mx^{2} + 2m -1=0$

a. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm $x_1, x_2, x_3, x_4$ thoả mãn 2 điều kiện:
$x_1<x_2<x_3<x_4$

$x_4−x_3=x_3−x_2=x_2−x_1$
b. Giải phương trình với m tìm được ở câu a

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 28-03-2016 - 20:58

[leminhnghiatt]

Cho phương trình: $x^{4} - 2mx^{2} + 2m -1$

a. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn 2 điều kiện: 
x1<x2<x3<x4

x4−x3=x3−x2=x2−x1
b. Giải phương trình với m tìm được ở câu a

 

 

a, Đặt $x^2=t (t \geq 0)$

 

$x^4-2mx^2+2m-1=0$

 

$\iff t^2-2mt+2m-1=0$ (**)

 

Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì $\Delta' >0 \iff m^2-2m+1 >0 \iff (m-1)^2 >0 \iff m \not =1$ (1)

 

Và $\begin{cases} t_1t_2=2m-1 >0 \\  t_1+t_2=2m >0 \end{cases} \ (*)$

 

$\iff m > \dfrac{1}{2}$ (2)

 

Phương trình bậc 4 trùng phương thì có 4 nghiệm trong đó có 2 cặp nghiệm là số đối của nhau.

 

Mà $x_1<x_2<x_3<x_4 \rightarrow \begin{cases} x_1=-x_4 \\  x_2=-x_3 \end{cases}$

 

 

$x_4-x_3=x_3-x_2 \rightarrow x_4=3x_3$

 

TT: $x_1=3x_2$

 

$\rightarrow x_1.x_4=9x_2.x_3 \rightarrow t_1=9t_2$ ( với $t_1;t_2$ là 2 nghiệm của pt(**))

 

Đến đây thay vào (*) bên trên ta được hệ:

 

$\iff \begin{cases} 9t_2^2=2m-1 \\  5t_2=m \end{cases}$

 

$\rightarrow 9(2)^2-25(1) \iff 9m^2-50m+25=0 \iff (9m-5)(m-5)=0$

 

$\iff m=\dfrac{5}{9}$    v    $m=5$ (cả 2 đều thỏa mãn)

 

$\bullet$ Với $m=\dfrac{5}{9} \iff x=\pm 1$    v     $x=\pm \dfrac{1}{3}$

 

$\bullet$ Với $m=5 \iff x=\pm 1$      v     $x=\pm 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 28-03-2016 - 19:39

[vkhoa]

Cho phương trình: $x^{4} - 2mx^{2} + 2m -1$

a. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn 2 điều kiện: 
x1<x2<x3<x4

x4−x3=x3−x2=x2−x1
b. Giải phương trình với m tìm được ở câu a

a)
$x^4 -2 .m .x^2 +m^2 -(m^2 -2 .m +1)=0$
$(x^2 -m)^2 -(m -1)^2 =0$
$(x^2 -1)(x^2 -2 .m +1) =0$
phương trình có nghiệm x=$\pm1$
phương trình có nghiệm $x_1<x_2<x_3<x_4$
<=>$\left\{\begin{matrix}2 .m-1 >0\\2 .m -1\neq1\end{matrix}\right.$ <=> m >$\frac12$ (1)
khi đó phương trình có thêm 2 nghiệm x=$\pm\sqrt{2 .m -1}$
xét 2 trường hợp
*TH1:$\sqrt{2 .m -1} >1$ <=>$m >1$(2)
=>$-\sqrt{2 .m -1} <-1$
=>$x_1 =-\sqrt{2 .m -1}, x_2 =-1, x_3 =1, x_4 =\sqrt{2 .m -1}$
khi đó $x_4 -x_3 =x_3 -x_2 =x_2 -x_1$
<=>$x_4 -x_1 =3 .(x_3 -x_2)$
<=>$2 .\sqrt{2 .m -1} =3 .(1-(-1))$
<=>2 .m -1 =9
<=>$m =5$ (thỏa điều kiện (1) và (2))
*TH2:$\sqrt{2 .m -1} <1$ <=>$m<1$ (3)
=>$x_1 =-1, x_2 =-\sqrt{2 .m -1}, x_3 =\sqrt{2 .m -1}, x_4 =1$
khi đó $x_4 -x_3 =x_3 -x_2 =x_2 -x_1$
<=>$x_3 -x_2 =\frac13 .(x_4 -x_1)$
<=>$2 .\sqrt{2 .m -1} =\frac23$
<=>$2 .m -1 =\frac19$
<=>$m=\frac59$ (thỏa điều kiện (1) và (3))
Vậy $\left[\begin{matrix}m=5\\
m=\frac59\end{matrix}\right.$
b)
*m=5
$x_1 =-\sqrt{2 .5 -1} =-3, x_2 =-1, x_3 =1, x_4 =3$
*$m=\frac59$
$x_1 =-1, x_2 =-\sqrt{2 .\frac59 -1} =-\frac13, x_3 =\frac13, x_4 =1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 28-03-2016 - 20:30