Chủ đề này có 1 trả lời

[manhbbltvp]

Cho các số $a,b,c$ biết $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-03-2016 - 18:21

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho các số $a,b,c$ biết $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Ta có:

$$\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{a+b+c+c} \leq \frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)(Cauchy-Schwarz)$$

Tương tự thì:

$$\frac{bc}{a+1} \leq \frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a}\right)$$

$$\frac{ca}{b+1} \leq \frac{ca}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)$$

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
$$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1} \leq \frac{1}{4}\left (\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ca+ab}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}\right)=\frac{1}{4}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$