3 replies to this topic

[youngahkim]

cho $a,b,c>0$ và $a^{2}-ab+b^{2}=c^{2}$. Chứng minh $a^{3}+b^{3}+3abc\leq 5c^{3}$

[HoaiBao]

cho $a,b,c>0$ và $a^{2}-ab+b^{2}=c^{2}$. Chứng minh $a^{3}+b^{3}+3abc\leq 5c^{3}$

Ta biến đổi tương đương được $ac+bc+3ab\leq5c^2$

$\frac{a^2+b^2}{2}+6ab\leq4c^2=4(a^2-ab+b^2) \Leftrightarrow 7(a-b)2\geq 0$

Xảy ra khi $a=b=c$

Edited by HoaiBao, 28-03-2016 - 20:25.

[Issac Newton of Ngoc Tao]

cho $a,b,c>0$ và $a^{2}-ab+b^{2}=c^{2}$. Chứng minh $a^{3}+b^{3}+3abc\leq 5c^{3}$

Chia 2 vế cho $c^{2}\Rightarrow x^{2}-xy+y^{2}=1;x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}\Rightarrow P=x^{3}+y^{3}+3xy=x+y+3xy$

Dễ có: $(x-y)^{2}=1-xy\Rightarrow xy\leq 1;(x+y)^{2}=1+3xy\leq 1+\frac{3(x+y)^{2}}{4}\Rightarrow x+y\leq 2\Rightarrow P\leq 2+3.1=5\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+3abc\leq 5c^{3}(dpcm)$

[tpdtthltvp]

cho $a,b,c>0$ và $a^{2}-ab+b^{2}=c^{2}$. Chứng minh $a^{3}+b^{3}+3abc\leq 5c^{3}$

Ta có: $a^2-ab+b^2=c^2\Rightarrow a^3+b^3=c^2(a+b)$

Do đó:

$$a^3+b^3+3abc\Leftrightarrow c^2(a+b)+3abc\leq 5c^3\Leftrightarrow c(a+b)+3ab\leq 5c^2$$

Mà 

$$c^2=a^2-ab+b^2\geq 2ab-ab=ab\Rightarrow 3ab\leq 3c^2$$

Nên ta chỉ cần chứng minh:

$$c(a+b)\leq 2c^2\Leftrightarrow a+b\leq 2c$$

BĐT này luôn đúng do:

$$c^2(a+b)=a^3+b^3\geq \frac{(a+b)^3}{4}\Rightarrow c^2\geq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow c\geq \frac{a+b}{2}\Rightarrow a+b\leq 2c$$

Ta có đpcm.

Edited by tpdtthltvp, 28-03-2016 - 20:31.