Chủ đề này có 5 trả lời

[Hannie]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$ .Chứng minh

$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{\sum a}$

[tpdtthltvp]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$ .Chứng minh

$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{\sum a}$

Ta có:

$(ab+a+1)^2\leq 3(a^2b^2+a^2+1)\Rightarrow \frac{1}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{3(a^2b^2+a^2+1)}$

Đặt $a^2=x,b^2=y,c^2=z$ thì $xyz=1$ thì:

$\sum \frac{1}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{xy+x+1})=\frac{1}{3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

___________

P/S: Chuyến này đầu óc kém quá!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-03-2016 - 22:06

[royal1534]

Ta có:

$(ab+a+1)^2\leq 3(a^2b^2+a^2+1)\Rightarrow \frac{1}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{3(a^2b^2+a^2+1)}$

Đặt $a^2=x,b^2=y,c^2=z$ thì $xyz=1$ thì:

$\sum \frac{1}{(ab+a+1)^2}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{xy+x+1})=\frac{1}{3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Em làm loạn xì ngầu cả lên rồi.    VT là $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}$ mà 

[royal1534]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$ .Chứng minh

$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{\sum a}$

Lời giải:

Sử dụng bđt Bunhiacopxki ta có :

$(a^2+ab+ac)(1+ab+\frac{1}{ac}) \geq (a+ab+1)^2$

$\Leftrightarrow a(a+b+c)(1+ab+b) \geq (a+ab+1)^2$

$\Leftrightarrow \frac{a}{(a+ab+1)^2} \geq \frac{1}{(a+b+c)(b+ab+1)}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có:

$VT=\sum \frac{a}{(a+ab+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}.\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{a+b+c}$ (Vì ta có đẳng thức $\sum \frac{1}{ab+b+1}=1$ với $abc=1$)

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[Hannie]

Lời giải:

Sử dụng bđt Bunhiacopxki ta có :

$(a^2+ab+ac)(1+ab+\frac{1}{ac}) \geq (a+ab+1)^2$

$\Leftrightarrow a(a+b+c)(1+ab+b) \geq (a+ab+1)^2$

$\Leftrightarrow \frac{a}{(a+ab+1)^2} \geq \frac{1}{(a+b+c)(b+ab+1)}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có:

$VT=\sum \frac{a}{(a+ab+1)^2} \geq \frac{1}{a+b+c}.\sum \frac{1}{ab+b+1}=\frac{1}{a+b+c}$ (Vì ta có đẳng thức $\sum \frac{1}{ab+b+1}=1$ với $abc=1$)

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Cho mình hỏi làm thế nào có thể nghĩ ra cách thêm như vậy để áp dụng Bunhiacovski

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hannie: 29-03-2016 - 08:31

[royal1534]

Cho mình hỏi làm thế nào có thể nghĩ ra cách thêm như vậy để áp dụng Bunhiacovski

À. Cái này cũng đơn giản thôi

Ta viết lại bđt cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{\frac{(a+ab+1)^2}{a}} \geq \frac{1}{a+b+c}$

Vì mẫu của VP cố định là $a+b+c$ nên ta cần một đánh giá kiểu:

$\frac{(a+ab+1)^2}{a} \leq (a+b+c).X$       (Với $X$ là một biểu thức bất kì)

$\leftrightarrow (a+ab+1)^2 \leq (a^2+ab+ac).X$

Từ đó ta chọn được $X=(1+ab+\frac{1}{ac})=(1+ab+b)$

--------

P/s:Bài này có cách giải thứ hai là đổi biến $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$ rồi biến đổi tương đương khá đơn giản 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 29-03-2016 - 11:32