Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm và chứng minh các giá trị có thể có của đường chéo của bảng vuông

- - - - - số học tổ hợp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Viết các số từ $1$ đến $n^{2}$ lên bảng vuông $n\times n$ gồm $n^{2}$ ô vuông đơn vị ($n$ là số tự nhiên cho trước) sao cho mỗi hình chữ nhật tạo từ một số ô vuông đơn vị thì tổng hai số ở hai ô ở hai góc đối diện nhau bằng tổng hai số ở hai ở góc đối diện còn lại. Tìm và chứng minh các giá trị có thể có của đường chéo của bảng vuông.

Nguồn: SL Challenge Competition

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 28-03-2016 - 23:34


#2
JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 138 Bài viết

Đánh số các hàng từ trên xuống dưới lần lượt là $1,2,...,n$, đánh số các cột từ trái sang phải lần lượt là $1,2,...,n$. Gọi số điền trong ô $(1;1)$ là $x$, xét tập $A=\left \{r_1,r_2,...,r_n \right \}$ sao cho số được viết trong ô $(1;i)$ là $r_i+x$. Tập $B=\left \{q_1,q_2,...,q_n \right \}$ sao cho ô $(i;1)$ được viết số $q_i+x$. Theo đề bài, dễ chứng minh được ô $(i;j)$ được viết số $x+q_i+r_j$. Vì vậy tổng các số trên bảng bằng $\sum_{q_i\in B;r_j\in A}^{}$$x+q_i+r_j$=$\sum_{i=1}^{n^2}i$=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\rightarrow$ $n^2x+n\sum_{i=1}^{n}r_i +n\sum_{i=1}^{n}q_i$=$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\rightarrow$ $\sum_{i=1}^{n} x+r_i+q_i$=$\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$, Dễ thấy tổng đó là tổng các số trên các ô nằm trên đường chéo chính

Nhân tiện SL Challenge Competition là Sri Lanka Challenge Competition


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 17-05-2016 - 13:07






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, tổ hợp

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh