Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của $\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+xyz$

- - - - - bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
kevotinh2802

kevotinh2802

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 161 Bài viết

Cho x,y,z thuộc đoạn 0,1. Tìm GTLN của $\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+xyz$



#2
quoccuonglqd

quoccuonglqd

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 219 Bài viết
Xét $\frac{x}{1+xyz}-\frac{x}{1+yz}=\frac{xyz(1-x)}{(1+yz)(1+xyz)}\geqslant 0$
$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}\leqslant \frac{x}{1+xyz}$
Tương tự ta thu được $\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}\leqslant \frac{x+y+z}{1+xyz}$
$a,b,c \in [0,1]\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\geqslant 0\Rightarrow 1-abc+ab+bc+ca\geqslant a+b+c$
$ab,bc,ca \in [0,1]\Rightarrow (1-ab)(1-bc)(1-ca)\geqslant 0\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 1-a^{2}b^{2}c^{2}+abc(a+b+c)\leqslant 1-a^{2}b^{2}c^{2}+abc(1-abc+ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant \frac{1-2a^{2}b^{2}c^{2}+abc}{1-abc}$
$P\leqslant \frac{a+b+c}{1+abc}+abc\leqslant \frac{3-2a^{2}b^{2}c^{2}-abc}{(1-abc)(1+abc)}-1+abc$
Ta khảo hàm $f(abc)$ với $0\leqslant abc\leqslant 1$


#3
PlanBbyFESN

PlanBbyFESN

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 637 Bài viết

Cho $x,y,z$ $\in \left [ 0;1 \right ]$. Tìm GTLN của $\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+xyz$

 

Bài này chỉ cần sử dụng kiến thức lớp 8:

 

$x,y,z\in \left [ 0;1 \right ] \Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy\geq xyz & & \\ yz\geq xyz & & \\ zx\geq xyz & & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+xyz\leq \frac{x+y+z}{1+xyz}+xyz$

 

Do $x,y,z\in \left [ 0;1 \right ]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)(y-1)\geq 0 & \\ (xy-1)(z-1)\geq 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z\leq xyz+2$

 

$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+xyz\leq \frac{xyz+2}{xyz+1}+xyz=1+t+\frac{1}{t+1}$   $(t=xyz)$

 

$1+t+\frac{1}{t+1}\leq \frac{5}{2}\Leftrightarrow (t-1)(2t+1)\leq 0$ (ĐÚNG do $x,y,z\in \left [ 0;1 \right ]$)

 

$\Rightarrow \frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+xyz\leq \frac{5}{2}$

 

..................................................


:huh:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh