Tìm tất cả số nguyên tố p có dạng $p=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ với a,b,c là các số nguyên dương sao cho $a^{4}+b^{4}+c^{4}$ chia hết cho p
Tìm tất cả số nguyên tố p có dạng....
Bắt đầu bởi Royal Sky, 29-03-2016 - 12:42
#1
Đã gửi 29-03-2016 - 12:42
#2
Đã gửi 29-03-2016 - 15:35
Dễ thấy $p>2$ nên $p$ lẻ. Giả sử $b \ge c \ge a>0$ (*)
Ta có $p|(a^4+b^4+c^4)$ (1)
Ta có $p^2=a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)$ (2)
(1)+(2) $\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)|(a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2)$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)|(b^2(a^2+c^2+b^2)+(ca)^2-b^4) \Leftrightarrow p|(ca-b^2)(ca+b^2)$ (3)
Để ý rằng $p-(ca-b^2)=a^2+c^2-ac+2b^2>0,p-(ca+b^2)=a^2+c^2-ac>0$ (có thể dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh nhanh cái này)
Do vậy để (3) xảy ra thì $ca-b^2=0$ (vì $p$ là số nguyên tố) suy ra $ca=b^2$ kết hợp với (*) suy ra $a=b=c$ từ đó suy ra $p=3a^2$ mà $p$ nguyên tố
Suy ra $\fbox{p=3}$
- Royal Sky, ineX và thaibuithd2001 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh