Chủ đề này có 2 trả lời

[Andora]

1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1.

Chứng minh rằng $\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2}\leq 1$

 

2. Cho x, y, z là các số thực dương sao cho xyz+x+z=y. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{2}{x^{2}+1}-\frac{2}{y^{2}+1}+\frac{3}{z^{2}+1}$

 

3. Cho các số dương a, b, c, m, n, p thỏa mãn a+m=b+n=c+p=k. Chứng minh: $an+bp+cm< k^{2}$

 

4. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}$

Tìm GTNN của biểu thức $A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

 

[quangtq1998]

1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1.
Chứng minh rằng $\frac{x}{x^{2}+2}+\frac{y}{y^{2}+2}+\frac{z}{z^{2}+2}\leq 1$

Xét hàm :$f(t) =  \frac{t}{t^2+2} - \frac{1}{9} lnt $
 
               $f'(t) = \frac{2-t^2}{(t^2+2)^2} - \frac{1}{9t} =\frac{(1-t)(t+2)(t^2+8t-2)}{9t(t^2+2)^2}$
 
                $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 ; t = 3\sqrt{2}-4$
 
                $\Rightarrow f(t) \leq max $ { $f(1),f(3\sqrt{2}-4)$ } $= \frac{1}{3} $
 
           Nên : $\frac{t}{t^2+2} \leq \frac{1}{9}lnt + \frac{1}{3} $
 
        Thay $t = x,y,z$ vô ta được $dpcm$

Tiện thể chắc là tìm được MIN luôn :3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 30-03-2016 - 16:01

[quangtq1998]

4. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}$
Tìm GTNN của biểu thức $A=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

Ta có 
$(3t-4)^2(3t+8) \ge 0 \Leftrightarrow 245 + 27t(t^2-1) \ge 117(t+1) \Leftrightarrow \frac{1}{t+1} \ge \frac{-27t(t-1)+117}{245} $
Thay $t = x,y,z $vô  ta được$ A \ge \frac{9}{7} $
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z = \frac{4}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 30-03-2016 - 16:00