Đến nội dung

Hình ảnh

$(n+1)^7-n^7-1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Tìm số tự nhiên n sao cho $(n+1)^7-n^7-1$ là số chính phương



#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Tìm số tự nhiên n sao cho $(n+1)^7-n^7-1$ là số chính phương

Đặt $(n+1)^7-n^7-1=a^2$. 

Phương trình tương đương $a^2=(n+1)[(n+1)^6-(n^6-n^5+...-n+1)]$. Đặt $d_1=\gcd(n+1, (n+1)^6-n^6+n^5-...+n-1)$ thì $d_1=1$ hoặc $d_1=7$

Mặt khác, $a^2=n[(n+1)^6+(n+1)^5+...+(n+1)+1-n^6]$. Đặt $d_2=\gcd(n,(n+1)^6+(n+5)^6+...+1-n^6)$ thì $d_2=1$ hoặc $d_2=7$

+) Nếu $d_1=d_2=1$ thì tồn tại $x,y\in\mathbb{N}$ sao cho $n+1=x^2,n=y^2\Rightarrow (x-y)(x+y)=1\rightarrow n=0$

+) Nếu $d_1=d_2=7$ thì $7|1$ (vô lý)

+) Nếu $d_1=7,d_2=1$ thì $n+1=7x^2,n=y^2\rightarrow 7x^2=y^2+1\rightarrow 7|y^2+1$. Theo bổ đề quen thuộc: $p=4k+3\in\mathbb{P}$ thỏa mãn $p|a^2+b^2$ thì $p|a,p|b$ ta suy ra $7|1$ ( vô lý)

+) Nếu $d_1=1,d_2=7$ thì $n+1=x^2,n=7y^2\rightarrow x^2-7y^2=1$. Phương trình Pell loại I có nghiệm nguyên dương $y_t=\frac{(8+3\sqrt{7})^t-(8-3\sqrt{7})^t}{2\sqrt{7}}$ với $t\in\mathbb{N}$ ngoài nghiệm $y=0$

Ta chỉ cần CM dãy nghiệm này thỏa mãn, tức là với $n+1=x^2$ và $n=7y^2$ thì $(n+1)^7-n^7-1$ là scp. Và điều này hiển nhiên đúng vì $(n+1)^7-n^7-1=7n(n+1)(n^2+n+1)^2$

Vậy $n=0; 7\left [ \frac{(8+3\sqrt{7})^t-(8-3\sqrt{7})^t}{2\sqrt{7}} \right ]^2$ với $t=0,1,2,3,.....$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 13-05-2016 - 17:26





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh