Chủ đề này có 1 trả lời

[lvx]

Với một chuẩn ma trận đã cho $\left \| \cdot  \right \|$ số điều kiện của một ma trận A bằng: 

$cond(A) = \left \| A  \right \|\left \| A^{-1}  \right \|$

Ký kiệu $cond_2$ là số điều kiện tương ứng với chuẩn Euclide $\left \| \cdot  \right \|_2$

Chứng minh rằng:

1/ $cond(A)=cond(A^{-1})$ với mọi ma trận $A$

2/ Nếu A đối xứng thì:

$cond_2(A)=\frac{\sup_{1\leq j \leq n} |\lambda_j|}{\inf_{1\leq j \leq n} |\lambda_j|}$

trong đó $\lambda_1,...,\lambda_n$ là các giá trị riêng của $A$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvx: 30-03-2016 - 17:53

[An Infinitesimal]

Với một chuẩn ma trận đã cho $\left \| \cdot  \right \|$ số điều kiện của một ma trận A bằng: 

$cond(A) = \left \| A  \right \|\left \| A^{-1}  \right \|$

Ký kiệu $cond_2$ là số điều kiện tương ứng với chuẩn Euclide $\left \| \cdot  \right \|_2$

Chứng minh rằng:

1/ $cond(A)=cond(A^{-1})$ với mọi ma trận $A$

2/ Nếu A đối xứng thì:

$cond_2(A)=\frac{\sup_{1\leq j \leq n} |\lambda_j|}{\inf_{1\leq j \leq n} |\lambda_j|}$

trong đó $\lambda_1,...,\lambda_n$ là các giá trị riêng của $A$

 

C/m 1): Hiển nhiên.

C/m cho 2: Ta chỉ cần c/m: $||A||=\lambda_{*}:= \max\{|\lambda_j|: j=1, 2, ..., n\}$

 

Ta có $|Ax|_2 \le \max\{|\lambda_j|: j=1, 2, ..., n\} |x|_2  $

Vì $A$ đối xứng nên tồn tại một cơ sở trực chuẩn được sinh ra từ các vector riêng của $A$ ($v_1, v_2, ..., v_n$).

Khi đó với mỗi $x\in \mathbb{R}^n$, tồn tại $\alpha_i, i=1, 2, ..., n$, sao cho $x= \sum \alpha_i v_i$

Suy ra $|Ax|_2 = \sum \sum \alpha_i^2\lambda_i^2 \le \lambda_{*}^2 \sum \alpha_i^2= \lambda_{*}^2|x|^2.$

Và dấu bằng đạt được khi x là trị riêng  tương ứng trị riêng có độ lớn bằng $\lambda_{*}$.