Tìm $x;y\epsilon N$ sao cho $5^{x}+12^{x}=y^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dreamcatcher170201: 30-03-2016 - 21:29
Tìm $x;y\epsilon N$ sao cho $5^{x}+12^{x}=y^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dreamcatcher170201: 30-03-2016 - 21:29
x=1 không là nghiệm nên x$\geq 2$. Do đó y lẻ
Mà $12^{x},y^{2}\equiv 1(mod8)$
$\Rightarrow 5^{x}\equiv 1(mod8)\Rightarrow$ x chẵn
Đặt x=2k(k là số TN) $\Rightarrow 5^{2k}=(y-12^{k})(y+12^{k})$
Mà 5 nguyên tố nên tồn tại số nguyên m, m<k thỏa mãn:$y+12^{k}=5^{2k-m}$
và $y-12^{k}=5^{m}$
$\Rightarrow 2.12^{k}=5^{m}(5^{2k-2m}-1)$
2; 12 nguyên tố cùng nhau với 5.
$\Rightarrow 5^{2k}+12^{2k}=(12^{k}+1)^{2}$
Mà $2.12^{k}=5^{m}\Rightarrow m=0\Rightarrow y=12^{k}+1$
$\Rightarrow 2.12^{k}=25^{k}-1$
N k$\geq 2 \rightarrow 25^{k}-1>24^{k}=2^{k}.12^{k}(L)$
$\Rightarrow k=1\Rightarrow x=2, y=13$
'' Ai cũng là thiên tài. Nhưng nếu bạn đánh giá một con cá qua khả năng trèo cây của nó, nó sẽ sống cả đời mà tin rằng mình thực sự thấp kém''.
Albert Einstein
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Giải phương trình nghiệm nguyên: $pqr + q + r = 2$Bắt đầu bởi Khanh12321, 25-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$xy(x^2+y^2)+x^3+y^3=19$Bắt đầu bởi Duc3290, 21-04-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Tổ hợp và rời rạc →
Một số bài toán tổ hợp liên quan đến phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi hxthanh, 01-04-2024 phần nguyên, phân hoạch và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$x^{y}-x=y^{x}-y$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 08-02-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$\frac{2023}{x + y}+\frac{x}{y+2022}+\frac{y}{4045}+\frac{2022}{x + 2023}=2$Bắt đầu bởi datzv423, 25-03-2023 đại số và . |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh