Chủ đề này có 1 trả lời

[quangtq1998]

Cho$ a,b,c > 0 ; a^2 +b^2+c^2 = 3 $ Tìm MIN 

$P = (a+b+c)^2 + \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} -\frac{1}{ab+bc+ca}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 31-03-2016 - 19:32

[dark templar]

Cho$ a,b,c > 0 ; a^2 +b^2+c^2 = 3 $ Tìm MIN 

$P = (a+b+c)^2 + \frac{a^3+b^3+c^3}{abc} -\frac{1}{ab+bc+ca}$

Ta có:

$P=6+2\sum ab+\frac{(a+b+c)(3-\sum ab)}{abc}-\frac{1}{\sum ab}$

 

Theo C-S thì 

$$\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geqslant \frac{9}{\sum ab}$$

 

Do đó:

$$P\geqslant 6+2x+\frac{9(3-x)}{x}-\frac{1}{x}=-3+2x+\frac{26}{x}$$

 

Với $x=\sum ab (0<x \le \sum a^2=3)$

Theo AM-GM  thì $2x+\frac{18}{x}\geqslant 12$,suy ra $P\geqslant -3+12+\frac{8}{x}\geqslant \frac{35}{3}$

 

Vậy $P_{\min}=\frac{35}{3}$ khi $a=b=c=1$