Chủ đề này có 3 trả lời

[quangtohe]

Cho a,b,c là các số thực dương.CMR:$\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2} +2\right )\left ( c^{2}+2 \right )\geq 9\left ( ab+bc+ac \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 30-03-2016 - 22:07

[royal1534]

Cho a,b,c là các số thực dương.CMR:$\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2} +2\right )\left ( c^{2}+2 \right )\geq 9\left ( ab+bc+ac \right )$

Nhận thấy ta chỉ cần chứng minh bđt mạnh hơn sau:

$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(a+b+c)^2$

Sử dụng bđt Bunhiacopxki ta có:

$(a^2+2)(1+\frac{(b+c)^2}{2}) \geq (a+b+c)^2$

Bài toán quy vê chứng minh $(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(1+\frac{(b+c)^2}{2})$

                   $\Leftrightarrow (b-c)^2+2(bc-1)^2 \geq 0$:Đúng 

Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[dogsteven]

Giả sử $(a^2-1)(b^2-1)\geqslant 0$, khi đó $(a^2+2)(b^2+2)=(a^2-1)(b^2-1)+3(a^2+b^2+1)\geqslant 3(a^2+b^2+1)$

Do đó $VT\geqslant 3(a^2+b^2+1)(1+1+c^2)\geqslant 3(a+b+c)^2\geqslant 9(ab+bc+ca)$

[Ankh]

 Bất đẳng thức tương đương với $a^2b^2c^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+4(a^2+b^2+c^2)+8\geq 9(ab+bc+ca)$

 Áp dụng AM-GM và Schur thì $a^2b^2c^2+1+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \dfrac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)$

 Và $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3\geq 2(ab+bc+ca)$

 Nên $VT\geq 6(ab+bc+ca)+3(a^2+b^2+c^2)\geq 9(ab+bc+ca)$