Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac {ab}{1-ab}\leq \frac {3}{8}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
NamTueMinh

NamTueMinh

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết

1.Cho a,b,c >0 thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng:  

 

CodeCogsEqn (22).gif



#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

1.Cho a,b,c >0 thỏa mãn a + b + c =1. Chứng minh rằng:  

 

attachicon.gifCodeCogsEqn (22).gif

Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé :)

 

Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$

 

Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$

 

Ta có đpcm.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
Ankh

Ankh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé :)

 

Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$

 

Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$

 

Ta có đpcm.

 Có hai cách khác ở đây ạ http://diendantoanho...-xyleq-frac278/



#4
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

 Có hai cách khác ở đây ạ http://diendantoanho...-xyleq-frac278/

Cách dưới thì giống của mình rồi,còn cách làm Chebyshev thì tốt lắm :) 


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#5
hanhanh2801

hanhanh2801

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

$\fn_cm A+3= \frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}= - (\frac{1}{ab-1}+\frac{1}{bc-1}+\frac{1}{ca-1})\leq -\frac{9}{ab+bc+ca-3} \leq \frac{-9}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}-3} =\frac{27}{8} \rightarrow A\leq \frac{3}{8}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanhanh2801: 02-04-2016 - 19:26


#6
Ankh

Ankh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Cách dưới thì giống của mình rồi,còn cách làm Chebyshev thì tốt lắm :)

 Cách của mình :

 Ta có bất đẳng thức tương đương $\sum \left (\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{1-ab}\right )\geq \dfrac{5}{8}\Leftrightarrow \sum \dfrac{(1-4ab)^2}{(1-4ab)(1-ab)}\geq \dfrac{15}{8}$

 Do $1=(a+b+c)^2>(a+b)^2\geq 4ab$ nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

 $\sum \dfrac{(1-4ab)^2}{(1-4ab)(1-ab)}\geq \dfrac{(3-4\sum ab)^2}{\sum (1-4ab)(1-ab)}=\dfrac{(3-4q)^2}{3-5q+4q^2-8r}\geq \dfrac{(3-4q)^2}{3-5q+4q^2-\dfrac{8(4q-1)}{9}}$

 Ta cần chứng minh $\dfrac{(3-4q)^2}{3-5q+4q^2-\dfrac{8(4q-1)}{9}}\geq \dfrac{15}{8}\Leftrightarrow (3q-1)(68q-41)\geq 0$

 Đúng do $q\leq \dfrac{1}{3}$

 -----------------

 Cái dạng này nhìn khá quen, không biết có lời giải bằng tiếp tuyến hoặc yếu tố không :)



#7
hanhanh2801

hanhanh2801

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

1.png



#8
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

 Cách của mình :

 Ta có bất đẳng thức tương đương $\sum \left (\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{1-ab}\right )\geq \dfrac{5}{8}\Leftrightarrow \sum \dfrac{(1-4ab)^2}{(1-4ab)(1-ab)}\geq \dfrac{15}{8}$

 ...

 Cái dạng này nhìn khá quen, không biết có lời giải bằng tiếp tuyến hoặc yếu tố không :)

Mình không biết tại sao lại có ý tưởng thêm bớt $\frac{4}{3$ ở khúc này ? Bạn có thể giải thích không ?


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#9
Ankh

Ankh

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Mình không biết tại sao lại có ý tưởng thêm bớt $\frac{4}{3$ ở khúc này ? Bạn có thể giải thích không ?

 Mình đưa bất đẳng thức về chứng minh tương đương $\sum \left (k-\dfrac{1}{1-ab}\right )\geq 3k-\dfrac{27}{8}\Leftrightarrow \sum \dfrac{k-1-kab}{1-ab}\geq 3k-\dfrac{27}{8}$

 Dạng này nhìn có vẻ quen, vì các bài toán tương tự để giải bằng yếu tố hay Cauchy-Schwarz đếu có thể đưa về như vậy, và mình thêm bớt để có thể sử dụng Cauchy-Schwarz. Ta sẽ cần tìn một đánh giá cho $ab$ sao cho bất đẳng thức $k-1>kab$ càng chặt càng tốt. Ta có một số đánh giá như sau :

 $ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}\leq \dfrac{a^2+b^2}{2}\leq \dfrac{1}{2}$

 $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^2$, cho $c\rightarrow 0$ thì thành $1\geq 3ab$

 $1=(a+b+c)^2>(a+b)^2\geq 4ab$

 Tuy nhiên nếu để ý một tí thì ta nhận ra rằng đánh giá $(a+b)^2\geq 4ab$ chặt hơn $a^2+b^2\geq 2ab$, và tuy rằng nó chưa phải chặt nhất ( vì theo mình biết thì còn có cả cái mà "Làm mạnh bất đẳng thức Cauchy" nữa ), lúc đó không biết do vô tình hay sao nhưng mình nghĩ $ab<\dfrac{1}{4}$ có lẽ là vừa đủ. 

 Tiếp theo và việc chọn hằng số $k$ sao cho $\dfrac{k-1}{1}=\dfrac{k}{4}\Leftrightarrow k=\dfrac{4}{3}$, việc tiếp theo như bạn thấy

 Nhưng thực ra mình nghĩ lời giải của mình ở trên vẫn mang hơi hướng gì đó hơi may mắn một tí, thực ra trong quá trình biến đổi mình có sai và tưởng như $\dfrac{1}{4}$ vẫn là không đủ. Và nói thật, lúc đó mình định buông xuôi :( May dò lại được :)



#10
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Thật sự là lâu quá không làm lại BĐT,giờ cũng quên mất hầu hết mấy cái kỹ thuật chứng minh.Bây giờ đụng đâu mình vẫn cứ phang $p,q,r$ hay $S-O-S$ để giải nhưng không thích lắm do 2 pp trên đòi hỏi nặng tính toán..... :(


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11
trananhduong62

trananhduong62

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé :)

 

Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$

 

Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$

 

Ta có đpcm.

Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé :)

 

Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$

 

Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$

 

Ta có đpcm.


trananhduong62 :icon6:  :icon6:  :icon6:  :ukliam2: GOOD!


#12
trananhduong62

trananhduong62

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé :)

 

Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$

 

Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$

 

Ta có đpcm.


trananhduong62 :icon6:  :icon6:  :icon6:  :ukliam2: GOOD!


#13
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cộng 3 ở hai vế sẽ được bất đẳng thức mới là $\sum_{cyc}\frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8} $  :D

Quy đồng rồi rút gọn, ta được: $3-11(ab+bc+ca)+19abc-27a^2b^2c^2\geqslant 0$ 

$\Leftrightarrow 4[3+19abc-27a^2b^2c^2]\geqslant 11.4(ab+bc+ca)$ 

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau $abc\geqslant (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ , ta được: $xyz\geqslant (1-2a)(1-2b)(1-2c)\Leftrightarrow 11.4(ab+bc+ca)\leqslant 11(1+9abc)$ 

Ta cần chứng minh: $4[3+19abc-27a^2b^2c^2]\geqslant 11(1+9abc)\Leftrightarrow (1-27abc)(1+4abc)\geqslant 0$  *đúng do $abc\leqslant \frac{(a+b+c)^3}{27} =\frac{1}{27}$*

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-04-2021 - 19:01

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#14
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết

Ai có lời giải thuần bằng C-S hay AM-GM thì post lên nhé :)

Xét phép đổi biến $p,q,r$,ta sẽ có $r\in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]; q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$.Theo Schur thì $r\geqslant \frac{4q-1}{9}$

BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{ab}{1-ab}\leqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum \frac{1}{1-ab}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow \frac{\sum (1-ab)(1-bc)}{(1-ab)(1-bc)(1-ca)}\leqslant \frac{27}{8}$
$\Leftrightarrow \frac{3-2q+r}{1-q+r-r^{2}}\leqslant \frac{27}{8}\Leftrightarrow f(r)=27r^{2}-19r+11q-3\leqslant 0$

Dễ thấy $f'(r)=54r-19<0,\forall r \in \left ( 0;\frac{1}{27} \right ]$ nên $f(r)\leqslant f\left ( \frac{4q-1}{9} \right )=\frac{(16q+5)(3q-1)}{9}\leqslant 0,\forall q \in \left ( 0;\frac{1}{3} \right ]$

Ta có đpcm.

Hay




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh