Chủ đề này có 1 trả lời

[Rikikudo1102]

Cho dãy $U_{n} n\geq1$ xác định như sau:

 

$\left\{\begin{matrix} U_{1}=2013 & \\ U_{n+1}=\sqrt[n+1]{U_{n}^n+\frac{1}{2013^n}} & \end{matrix}\right.$

 

 Tìm CTTQ, và tính giới hạn của dãy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 01-04-2016 - 08:38

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Cho dãy $U_{n} n\geq1$ xác định như sau:

 

$\left\{\begin{matrix} U_{1}=2013 & \\ U_{n+1}=\sqrt[n+1]{U_{n}^n+\frac{1}{2013^n}} & \end{matrix}\right.$

 

 Tìm CTTQ, và tính giới hạn của dãy

Ta có: $(2013U_{n+1})^{n+1}=2013(2013U_{n})^{n}+2013;Y_{n}=2013U_{n}\Rightarrow Y_{n+1}^{n+1}=2013Y_{n}^{n}+2013\Leftrightarrow Y_{n+1}^{n+1}+\frac{2013}{2012}=2013(Y_{n}^{n}+\frac{2013}{2012})=...=2013^{n}.(Y_{1}^{1}+\frac{2013}{2012})=2013^{n}(2013^{2}+\frac{2013}{2012})\Leftrightarrow Y_{n}= \sqrt[n]{2013^{n-1}(2013^{2}+\frac{2013}{2012})-\frac{2013}{2012}}\Leftrightarrow U_{n}= \sqrt[n]{2013+\frac{1}{2012}-\frac{1}{2012.2013^{n-1}}}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }U_{n}^{n}=2013+\frac{1}{2012}$