ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017
Bài 1: Giải hệ phương trình$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho $\Delta ABC$ và $N$ là tâm đường tròn 9 điểm $Euler$ của $\Delta ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng đường thẳng $Euler$ (đường thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp) của các tam giác $AEF$, $BFD$, $CDE$ và $ABC$ đồng quy.
Bài 3: Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:
$1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài 4:
a)Cho $p$ là một số nguyên tố, $a$ là số tự nhiên thỏa $(a,p)=1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n thỏa $a^{n}+n\equiv 0 (mod p)$
b) Tồn tại hay không hai số nguyên dương a,b phân biệt sao cho $b^{n}+n \vdots a^{n}+n$ với mọi số nguyên dương $n$.
Bài 5: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho mọi tập con có k phần tử của tập $X$={$1,2,3,...,2020$} đều chứa hai phần tử phân biệt a,b sao cho a+b là số nguyên tố.
Bài 6: Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
$i)$ $f(f(n))=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$ii)$ $f(f(n+2)+2)=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$iii)$ $f(0)=1$.
Tính $f(2015)$ và $f(-2016)$.
Nguồn: Facebook thầy Cẩn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 03-04-2016 - 09:53