Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic 30/4 lớp 10 năm 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 02-04-2016 - 15:20

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

Bài 1: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho $\Delta ABC$ và $N$ là tâm đường tròn 9 điểm $Euler$ của $\Delta ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng đường thẳng $Euler$ (đường thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp) của các tam giác $AEF$, $BFD$, $CDE$ và $ABC$ đồng quy.
Bài 3: Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:
$1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài 4:
a)Cho $p$ là một số nguyên tố, $a$ là số tự nhiên thỏa $(a,p)=1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n thỏa $a^{n}+n\equiv 0 (mod p)$
b) Tồn tại hay không hai số nguyên dương a,b phân biệt sao cho $b^{n}+n \vdots a^{n}+n$ với mọi số nguyên dương $n$.
Bài 5: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho mọi tập con có k phần tử của tập $X$={$1,2,3,...,2020$} đều chứa hai phần tử phân biệt a,b sao cho a+b là số nguyên tố.
Bài 6: Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
$i)$ $f(f(n))=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$ii)$ $f(f(n+2)+2)=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$iii)$ $f(0)=1$.
Tính $f(2015)$ và $f(-2016)$.
Nguồn: Facebook thầy Cẩn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 03-04-2016 - 09:53

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#2 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-04-2016 - 16:19

Bài 4b) thì quen lắm rồi, câu trả lời là không.
​Bài 4a). Chọn $n$ sao cho $p - 1\mid n$ và $n \equiv -1\pmod{p}$ (lưu ý là điều này chọn được theo CRT)
​Từ đó ta có $a^{n} = a^{k(p - 1)} \equiv 1\pmod{p}$. Mặt khác $1 \equiv -n\pmod{p}$ nên $a^{n} \equiv -n\pmod{p}$



#3 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-04-2016 - 16:33

Bài 6. Thế $n$ bởi $0$ thu được $f(1) = 0$.
Viết lại ii), ta có $f(f(n) + 2) = n - 2$, thế $n$ bởi $f(n)$ ta thu được $f(n + 2) = f(n) - 2$
​Hay $f(n) - f(n + 2) = 2$. Quy nạp ta được $f(0) - f(2k) = 2k$. Thay $k = -1008$ ta có $1 - f(-2016) = -2016$ hay $f(-2016) = 2017$.
​Và tương tự ta cũng thu được $f(1) - f(2k + 1) = 2k$, thế $k = 1007$ ta thu được $0 - f(2015) = 2014$. Từ đó ta có $f(2015) = -2014$.
​Câu hàm hơi bị dễ...

​Từ trên ta có thể quy nạp ra toàn bộ $\mathbb{Z}$ sao cho $f(n) = 1 - n$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 02-04-2016 - 16:35


#4 haichau0401

haichau0401

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 214 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:$UFO$ và $HMU$

Đã gửi 02-04-2016 - 16:42

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

 

Bài 3: Cho ba số thực dương $x$, $y$, $z$ là 3 số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:

$1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

 

Ta có:

$xyz\geq 0\Leftrightarrow x-xyz\leq x\Leftrightarrow x\leq \frac{x}{1-yz}$

Tương tự cộng vế theo vế:

$\sum \frac{x}{1-yz}\geq \sum x\Rightarrow (\sum \frac{x}{1-yz})^2\geq (\sum x)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geq x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow dpcm$

 Dấu "=" xảy ra khi: $x=y=0,z=1$

 

$\sum \dfrac{x}{1-yz}\leq \sum \dfrac{x}{1-\dfrac{y^2+z^2}{2}}=2\sum \dfrac{x}{2-(y^2+z^2)}=2\sum \dfrac{x}{2-(1-x^2)}=2\sum \frac{x}{x^2+1}=2\sum \dfrac{x}{x^2+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}}\leq 2\sum \dfrac{x}{4\sqrt[4]{\dfrac{x^2}{27}}}=\frac{\sqrt[4]{27}}{2}\sum \sqrt{x}\leq \dfrac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3(\sum x)}\leq \dfrac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3\sqrt{3\sum x^2}}=\dfrac{\sqrt[4]{27}}{2}\sqrt{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

p/s: Off vài hôm!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 02-04-2016 - 16:43

Tiếc gì một  :like nếu bạn thấy hay  :icon6:  :like  :like  :like  (Xin chân thành cảm ơn)

                                                                                                                     

                                                                                                            @};-  @};-  @};- Ôn tập phương trình tại đây !!!


#5 tranphongk33

tranphongk33

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM

Đã gửi 02-04-2016 - 19:19

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

Bài 1: Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$

 

Lời giải: (cách 1)

 

ĐK: $y\ge 1$

Từ pt2 ta có: $2016\sqrt{y-1}+(y-1)^2=x-1$. Suy ra: $x\ge 1$.

 

Từ pt1 ta có: $VT=3\sqrt[3]{2.2x(x+1)}+2\sqrt{y(2y-1)}\le 2+2x+x+1+y+2y-1=3(x+y)+2=VP$

Dấu = xảy ra khi $x=y=1$. Và nó cũng là nghiệm duy nhất của hệ pt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranphongk33: 02-04-2016 - 19:21


#6 A piece of life

A piece of life

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 03-04-2016 - 11:59

Bài 5 : 

- Nếu $k=1010$ hiển nhiên không được.

- Ta chứng minh $k=1011$ thỏa mãn: 

Ta chia thành 1010 bộ số : $(1,6); (2,5); (3,4); (2020,7); (2019,8); (2018,9); ,,,; (1014;1013)$ nhận thấy tổng 2 số trong mỗi bộ là số nguyên tố ( $2027$ nguyên tố).

Theo Dirichlet dễ có đpcm.



#7 ineX

ineX

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 353 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Trung Tâm Giáo Dục Thường Xuyên Cầu Giấy
  • Sở thích:Sách

Đã gửi 03-04-2016 - 22:27

 

ĐỀ THI OLYMPIC 30/4 MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM 2016-2017

Bài 1: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 3\sqrt[3]{4(x^{2}+x)}+2\sqrt{2y^{2}-y}=3(x+y)+2\\ 2016\sqrt{y-1}+y^{2}+2=x+2y \end{matrix}\right.$
Bài 2: Cho $\Delta ABC$ và $N$ là tâm đường tròn 9 điểm $Euler$ của $\Delta ABC$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh rằng đường thẳng $Euler$ (đường thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp) của các tam giác $AEF$, $BFD$, $CDE$ và $ABC$ đồng quy.
Bài 3: Cho ba số thực $x$, $y$, $z$ là 3 số thực không âm thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh:
$1 \leqslant \frac{x}{1-yz}+\frac{y}{1-zx}+\frac{z}{1-xy}\leqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Bài 4:
a)Cho $p$ là một số nguyên tố, $a$ là số tự nhiên thỏa $(a,p)=1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên n thỏa $a^{n}+n\equiv 0 (mod p)$
b) Tồn tại hay không hai số nguyên dương a,b phân biệt sao cho $b^{n}+n \vdots a^{n}+n$ với mọi số nguyên dương $n$.
Bài 5: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho mọi tập con có k phần tử của tập $X$={$1,2,3,...,2020$} đều chứa hai phần tử phân biệt a,b sao cho a+b là số nguyên tố.
Bài 6: Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
$i)$ $f(f(n))=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$ii)$ $f(f(n+2)+2)=n$ $\forall n \in \mathbb{Z}$
$iii)$ $f(0)=1$.
Tính $f(2015)$ và $f(-2016)$.
Nguồn: Facebook thầy Cẩn

 

bài hình đã có lời giải ở đây

còn đây là cách sử dụng vector sưu tầm được từ Nguyễn Hoàng Nam

P/s: thánh dog steven thi khối 10 hay 11 thế @@

Hình gửi kèm

  • 12495093_1588789201448775_7524674537223269200_n.jpg
  • 12523942_1588789314782097_6394776791445917038_n.jpg

"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel

 

3cf67218ea144a6eb6caf571068071ff.1.gif


#8 slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị Provine
  • Sở thích:Giải toán dạo :)

Đã gửi 13-12-2017 - 19:49

Bài 4b) thì quen lắm rồi, câu trả lời là không.
​Bài 4a). Chọn $n$ sao cho $p - 1\mid n$ và $n \equiv -1\pmod{p}$ (lưu ý là điều này chọn được theo CRT)
​Từ đó ta có $a^{n} = a^{k(p - 1)} \equiv 1\pmod{p}$. Mặt khác $1 \equiv -n\pmod{p}$ nên $a^{n} \equiv -n\pmod{p}$

Anh giúp em giải chi tiết 4B được không ạ , em cảm ơn nhiều ạ :v


Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#9 lethanhtuan213

lethanhtuan213

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{green}{\text{Le Thanh Tong GH}}$
  • Sở thích:$\color{red}{\text{Maths}}$

Đã gửi 04-04-2019 - 20:22

Anh giúp em giải chi tiết 4B được không ạ , em cảm ơn nhiều ạ :v

Theo câu a thì với mọi a và p sao cho (a,p) = 1 thì luôn tồn tại n để a^{n}+n \vdots p mà   (b^{n}+n) \vdots (a^{n}+n) => b^{n}+n \vdots p => b^{n}-a^{n} \vdots p  Với mọi n => b - a chia hết cho p 

Điều này vô lí do a khác b, p là số nguyên tố bất kì, nếu chọn p > b - a => Không tồn tại


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethanhtuan213: 04-04-2019 - 20:23

"Cứ mãi ở ao làng, rồi ao sẽ cạn

Sao không ra sông ra biển để vẫy vùng?"

                                           - trích Trên đường băng





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh