Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Serbia National Olympiad 2016


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-04-2016 - 19:06

Serbia National Olympiad 2016

Ngày 1.
Bài 1. Cho $n > 1$ là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $m > n^{n}$ sao cho $\frac{n^{m} - m^{n}}{m + n}$ là số nguyên dương.
Bài 2. Cho $n$ là một số nguyên dương và $f:\mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

  • $f(0, i) = f(i, 0) = 0$ với $i \in \mathbb{N}$
  • $f(1, 1) = n$
  • $f(i, j) = \left\lfloor \frac{f(i - 1, j)}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{f(i, j - 1)}{2} \right\rfloor$ với điều kiện $i, j \in \mathbb{Z}^{+}$ và $ij > 1$

Tìm số cặp $(i, j)$ sao cho $f(i, j)$ là một số nguyên lẻ.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm ngoại tiếp. Một đường tiếp tuyến với $(BOC)$ cắt $AB$ ở $D$ và $CA$ ở $E$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của điểm $A$ qua $DE$. Chứng minh rằng $(A'DE)$ tiếp xúc với $(ABC)$.
Ngày 2.
Bài 4. Cho $\triangle ABC$ và tâm nội tiếp $I$, $M$ là trung điểm của $BC$, $D$ là điểm tiếp xúc của $(I)$ với $BC$. Chứng minh rằng các đường vuông góc hạ từ $M, D, A$ lần lượt đến các đường $AI, IM, BC$ đồng quy.
Bài 5. Có $2n - 1$ tập con gồm hai phần tử của tập $S = \{1, 2, \cdots, n\}$. Chứng minh rằng ta có thể chọn ra $n$ tập con trong chúng sao cho hợp của $n$ tập này chứa không quá $\frac{2}{3}n + 1$ phần tử.
Bài 6. Cho $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2^{2016}}$ là các số nguyên dương không lớn hơn $2016$. Biết rằng với mỗi $1 \le n \le 2^{2016}$ thì $a_{1}\cdots a_{n} + 1$ là một số chính phương. Chứng minh rằng có tồn tại một vài $i$ để $a_{i} = 1$.




 



#2 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-04-2016 - 20:11

 

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $O$ là tâm ngoại tiếp. Một đường tiếp tuyến với $(BOC)$ cắt $AB$ ở $D$ và $CA$ ở $E$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của điểm $A$ qua $DE$. Chứng minh rằng $(A'DE)$ tiếp xúc với $(ABC)$.

Em chém câu hình 3 vậy! :)

Gọi $L$ là tiếp điểm với $BOC$ của $DE$. $BL,CL$ cắt $(O)$ lần lượt tại $K,L$

Post 37.png

Theo định lí $Pascal$ đảo thì $LD,KE$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$. Gọi điểm đó là $S$.

Biến đổi góc: $\angle DSE = \angle LCK = \angle BLC - \angle BKC$

$ = \angle BOC - \angle BAC$

$ = 2 \angle BAC - \angle BAC$

$ = \angle BAC = \angle DA'E$

$\Rightarrow D,E,A',S$ đồng viên.

Mặt khác lại có: $\angle ELC=\angle KBC=\angle ESC$ nên $E,L,S,C$ đồng viên.

$\Rightarrow \angle DES=\angle LCS=\angle LKS$

$\Rightarrow DE||KL$

$\Rightarrow (DSE)$ tiếp xúc $(DKL)\Rightarrow (DA'E)$ tiếp xúc $(ABC).\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 03-04-2016 - 20:15


#3 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-04-2016 - 20:45

Câu 4 sử dụng kết quả quen thuộc sau: Cho $\triangle ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. $M$ là trung điểm $BC$. Đường cao $AH. IM$ cắt $AH$ tại $K$. Khi đó:$DK||AI$.

Quay lại bài toán.

$S$ là hình chiếu của $D$ lên $IM.DS$ cắt $AH$ tại $T.X$ là giao của $AI$ với $TM.$

Post 37.png

Biến đổi góc: $\angle DTM=\angle DHS=\angle DKS=\angle XIM$

$\Rightarrow ISXT$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow TM\perp AI$.

$\Rightarrow $ đường thẳng vuông góc hạ từ $M,H,A$ xuống $AI,IM,BC$ đồng quy.$\blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 03-04-2016 - 20:45


#4 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-04-2016 - 22:35

Xin phép xử bài 1. Với $n = 2$ chọn $m = 5$. Xét $n \ge 3$:
Chọn $m = kn^{n} - n$ (ta sẽ định $k$ sau, trước mắt cứ để vậy). Khi đó $m + n = kn^{n}$
Khi đó ta viết lại như sau $\frac{n^{kn^{n} - n} - (kn^{n} - n)^{n}}{kn^{n}} = \frac{n^{kn^{n} - 2n} - (kn^{n - 1} - 1)^{n}}{k}$
Vậy ta cần chọn $k$ sao cho $n^{kn^{n} - 2n} - (-1)^{n} \vdots k$
Nếu $n$ chẵn ($n \ge 4$) thì gọi $k$ là ước nguyên tố nào đó của $n - 1$ thì bài toán coi như xong.
Nếu $n$ lẻ và $n + 1$ có ước nguyên tố lẻ, chỉ cần gọi $k$ là ước nguyên tố lẻ của $n + 1$ (khi đó $kn^{n} - 2n$ là lẻ nên $n^{kn^{n} - 2n} + 1 \vdots n + 1 \vdots k$. Xong
Nếu $n + 1 = 2^{u}$, khi đó nếu $n^{n} + 1 = 2^{v}$ thì ta sẽ suy ra điều vô lí liền (cái này dễ), vậy cho nên ta sẽ chọn $k$ là ước nguyên tố lẻ sao cho $n^{n} + 1\vdots k$. Khi đó $n^{kn^{n} - 2n} + 1 = n^{n(kn^{n - 1} - 2)} + 1 \vdots n^{n} + 1 \vdots k$. Xong

Lưu ý ta chọn $k > 1$ nên điều kiện $m > n^{n}$ vẫn được thỏa.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 03-04-2016 - 22:47





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh