Cho $a,b,c$ là ba số dương có tích của chúng bằng 1.Chứng minh:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuong2001: 03-04-2016 - 20:58
Cho $a,b,c$ là ba số dương có tích của chúng bằng 1.Chứng minh:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuong2001: 03-04-2016 - 20:58
$\sum \frac{a}{2a^2+b^2+3} \le \frac{1}{2}.(\sum \frac{a}{ab+a+1})=\frac{1}{2}$
Bài này nên đăng ở box THCS
Cho $a,b,c$ là ba số dương có tích của chúng bằng 1.Chứng minh:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$\frac{a}{2a^2+b^2+3}=\frac{a}{(a^2+1)+(a^2+b^2)+2} \leq \frac{a}{2a+2ab+2}=\frac{1}{2(1+b+\frac{1}{a})}=\frac{1}{2(1+b+bc)}$
Tương tự $\frac{b}{2b^2+c^2+3} \leq \frac{1}{2(1+c+ca)}$
$\frac{c}{2c^2+a^2+3} \leq \frac{1}{2(1+a+ab)}$
Cộng các bđt vừa tìm được ta có:
$VT=\sum \frac{a}{2a^2+b^2+3} \leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{1+a+ab})=\frac{1}{2}$ (Chú ý ta có đẳng thức $\sum \frac{1}{a+ab+1}=1$ với $abc=1$)
Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh