Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$

- - - - - bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
phuong2001

phuong2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

Cho $a,b,c$ là ba số dương có tích của chúng bằng 1.Chứng minh:

$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuong2001: 03-04-2016 - 20:58


#2
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

$\sum \frac{a}{2a^2+b^2+3} \le \frac{1}{2}.(\sum \frac{a}{ab+a+1})=\frac{1}{2}$ 
Bài này nên đăng ở box THCS :( 



#3
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Cho $a,b,c$ là ba số dương có tích của chúng bằng 1.Chứng minh:

$\frac{a}{2a^2+b^2+3}$ + $\frac{b}{2b^2+c^2+3}$ + $\frac{c}{2c^2+a^2+3}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a}{2a^2+b^2+3}=\frac{a}{(a^2+1)+(a^2+b^2)+2} \leq \frac{a}{2a+2ab+2}=\frac{1}{2(1+b+\frac{1}{a})}=\frac{1}{2(1+b+bc)}$

Tương tự $\frac{b}{2b^2+c^2+3} \leq \frac{1}{2(1+c+ca)}$

                $\frac{c}{2c^2+a^2+3} \leq \frac{1}{2(1+a+ab)}$

Cộng các bđt vừa tìm được ta có:

$VT=\sum \frac{a}{2a^2+b^2+3} \leq \frac{1}{2}(\sum \frac{1}{1+a+ab})=\frac{1}{2}$ (Chú ý ta có đẳng thức $\sum \frac{1}{a+ab+1}=1$ với $abc=1$)

Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh