Chủ đề này có 1 trả lời

[Chi Miu]

1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai đường trung tuyến AE và BD vuông góc với nhau. Biết AB = 1 (đơn vị dài), tính diện tích tam giác ABC.

2. Cho hình vuông ABCD có AB = a không đổi. M là một  điểm di động trên đường chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC. Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chi Miu: 04-04-2016 - 12:55

[vkhoa]

1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai đường trung tuyến AE và BD vuông góc với nhau. Biết AB = 1 (đơn vị dài), tính diện tích tam giác ABC.

2. Cho hình vuông ABCD có AB = a không đổi. M là một  điểm di động trên đường chéo AC. Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC. Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

1)
BD cắt AE tại F
có $\triangle BFA \sim\triangle AFD$ (g, g)
=>$\frac{BF}{AF} =\frac{AF}{DF} =\frac{BA}{AD}$
=>$\frac{BF}{DF} =\frac{BF}{AF} .\frac{AF}{DF} =\frac{BA^2}{DA^2} =2$
=>$DA =\frac{BA}{\sqrt{2}}$
=>$S_{ABC} =\frac12 .AC .AB =\frac{AB^2}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}2$

2)
EM cắt CD tại G, FM cắt AD tại H, AC cắt BD tại O
Ta có $S_{DEF} =S_{ABCD} -(S_{BEF} +S_{AED} +S_{CFD})$ (1)
có $S_{BEF} +S_{AED} +S_{CFD} =\frac12(S_{BEMF} +S_{AEGD} +S_{CFHD})$
$=\frac12(S_{ABCD} +S_{DHMG})$
$=\frac12(a^2 +S_{ADC} -S_{AHM} -S_{MGC})$
$=\frac12(a^2 +\frac{a^2}2 -\frac12(HM^2 +MG^2))$
$=\frac{3a^2}4 -\frac14(HM^2 +HD^2)$
$=\frac{3a^2}4 -\frac{DM^2}4$ (2)
từ (1, 2) =>$S_{DEF} =\frac{a^2}4 +\frac{DM^2}4$
mà $DM\geq DO$
=>$S_{DEF}$ nhỏ nhất khi DM nhỏ nhất =DO =$\frac{a\sqrt{2}}2$
khi đó $S_{DEF} =\frac{3a^2}8$(đpcm)