Bài 1:
1, Cho 3 số a,b,c thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a+b+c=0 & & \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=2015& & \end{matrix}\right.$
Tính $A=a^{4}+b^{4}+c^{4}$
2, Cho a+b+c=2 và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$. Chứng minh rằng: $0\leq a\leq \frac{4}{3},0\leq b\leq \frac{4}{3},0\leq c\leq \frac{4}{3}.$.
Bài 2: Cho đa thức $C=\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )+xyz$
a) Phân tích C thành nhân tử.
b) Chứng minh rằng nếu x,y,z là các số nguyên và x+y+z chia hết cho 6 thì C-3xyz chia hết cho 6.
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) $x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+x+6=0$
b) $x^{3}+y^{3}+4\left ( x^{2}+y^{2} \right )+4\left ( x+y \right )=16xy$ (với x,y nguyên dương)
Bài 4:
1) Cho tam giác nhọn ABC, 3 đường phân giác cắt nhau tại I, BC=a, AC=b, AB=c. Chứng minh rằng:
$\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ca}+\frac{IC^{2}}{ab}=1$
2) Cho hình bình hành ABCD. Qua điểm S ở trong hình bình hành kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD, BC tại M và P. Qua S kẻ đường thẳng song song với AD lần lượt cắt AB, CC tại N và Q. Chứng minh ba đường thẳng AS, BQ, DP đồng quy.
Bài 5)
a) Cho x,y,z là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng $\left ( x-y \right )^{5}+\left ( y-z \right )^{5}+\left ( z-x \right )^{5}$ chia hết cho $5\left ( x-y \right )\left ( y-z \right )\left ( z-x \right )$
b) Cho a,b,c và a-b là các số khác 0 thỏa mãn:
$\left ( a^{2}-bc \right )\left ( b-abc \right )=\left ( b^{2}-ac \right )\left ( a-abc \right )$
Chứng minh rằng: $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$