2 replies to this topic

[Hannie]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}=1$. Tìm max $a^{2}b^{3}$

[le truong son]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}=1$. Tìm max $a^{2}b^{3}$

Ta có $\frac{a}{1+a}+\frac{2b}{1+b}= 1<=>1-\frac{1}{a+1}+2-\frac{2}{1+b}=1$

     =>$\frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+b}= 2=>2ab+b=1=>ab= \frac{1-b}{2}$                                                                                                                  

Áp  dụng AM-GM ta có $a^2b^3=\frac{1}{4}(1-b)^2.b=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}.2b.(1-b)(1-b)\leq \frac{1}{8}.\frac{(1-b+1-b+2b)^3}{27}=\frac{1}{8}.8.\frac{1}{27}=\frac{1}{27}$

   Cực trị xảy ra <=>$\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\y=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$    

Edited by Quoc Tuan Qbdh, 06-04-2016 - 11:29.

[I Love MC]

Thực ra nó chỉ là bài tập nhỏ của dạng tổng quát này 
Cho $x_1,x_2,..,x_n>0$ sao cho $\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+..+\frac{1}{x_n+1} \ge n-1$ 
Chứng minh rằng $x_1x_2..x_n \le \frac{1}{(n-1)^n}$