Chủ đề này có 1 trả lời

[Phuong Thu Quoc]

Giả thiết các ma trận đều thoả mãn điều kiện ban đầu của bài toán

1/ Chứng minh 2 ma trận $AB,BA$ có cùng đa thức đặc trưng

2/ Với mọi ma trận $A=B+C$ với $B$ luỹ linh và $C$ chéo hoá được thì $BC=CB$

3/a. Với mọi số $n$ khác 0 luôn tồn tại ma trận cấp n thoả mãn $A^{3}=A+I$

   b. Định thức của ma trận thoả mãn câu a luôn dương

[quangbinng]

Giả thiết các ma trận đều thoả mãn điều kiện ban đầu của bài toán

1/ Chứng minh 2 ma trận $AB,BA$ có cùng đa thức đặc trưng

2/ Với mọi ma trận $A=B+C$ với $B$ luỹ linh và $C$ chéo hoá được thì $BC=CB$

3/a. Với mọi số $n$ khác 0 luôn tồn tại ma trận cấp n thoả mãn $A^{3}=A+I$

   b. Định thức của ma trận thoả mãn câu a luôn dương

 

Câu 1 đúng vì $\det(AB-\lambda.E)=\det(BA-\lambda.E)$

chứng minh cho $A$ khả nghịch thì đơn giản, trường hợp không khả nghịch thì $A-\epsilon.E$ sẽ khả nghịch, tồn tại vô số $\epsilon$ cho đẳng thức đúng mà nó lại là 2 đa thức bằng nhau cho nên khi $\epsilon=0$ thì nó cũng đúng.

 

Câu 3. Ta chỉ cần chọn A là ma trận đường chéo có các phần tử đều bằng $\lambda$ trong đó, $\lambda$ là nghiệm của phương trình $x^3=x+1$.

 

b. $I=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)=A(A-I)A^3=A^4(A-I)$

như vậy thì  do $|A|^4$ là số dương cho nên $|A-I|$ cũng phải dương vì $\det I=1$.

 

Lại có $|A|=|A^3-I|=|A-I||A^2+A+I| \ge 0$ vì $|A^2+A+I| \ge 0$ và ở trên thì ta đã luận ra được là $|A-I| \ge 0$ 

 

p/s: chú đi thi olp toán không, làm quen đi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 07-04-2016 - 16:38