Chủ đề này có 6 trả lời

[anhquannbk]

ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

MÔN TOÁN 10

 

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x-4}-\sqrt{x+2}=x-3$

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}(2y-1)=4y^{2}-4y+21\\ 3x(2y-1)^{2}=x^{2}+20 \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:

a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x^{3}+3x^{2}-4}$

b)Cho hai hàm số $y=x^{2}+2x-3$ và $y=4x+m$, ($m$ là tham số). Tìm $m$ để đồ thị các hàm số cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ đến các trục tọa độ là bằng nhau.

Câu 3:

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\dfrac{(2x+3y+z)^{3}}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{2}}+1}+\dfrac{(2y+3z+x)^{3}}{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}}+1}+\dfrac{(2z+3x+y)^{3}}{3\sqrt[3]{y^{2}z^{2}}+1}$

Câu 4: Trên đường tròn có bán kính bằng $1$ ta lấy $17$ điểm bất kì. Chứng minh rằng trong $17$ điểm đó có ít nhất $3$ điểm tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{20}$.

Câu 5:

a) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $\angle A=60$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là điểm thỏa mãn $\vec{AN}=\dfrac{2}{5}\vec{AC}$. Chứng minh rằng $AM \perp BN$

b) Cho hai đường tròn $(O_1;r)$ và $(O_2;R)$ tiếp xúc trong tại $A$ ($r<R$). Qua $A$ vẽ cát tuyến cắt $(O_1)$ tại $B$ và $(O_2)$ tại $C$ ($B, C $ khác $A$). Một đường tròn $(T)$ thay đổi luôn qua $B$ và $C$ cắt $(O_2)$ tại $D$ ($D$ khác $C$) và cắt $(O_1)$ tại $E$ ($E$ khác $B$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Chứng minh $M$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác$ABCD$ nội tiếp đường tròn $(T)$ có đường chéo AC là đường kính và $C(4;-2)$, đường chéo $BD$ có trung điểm $M(3;-1)$. Một đường thẳng qua $D$ và $E(-1;-3)$ sao cho $DE$ song song $BC$. Biết đường thẳng $AB$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các điểm $A; B; D$.

HẾT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 07-04-2016 - 21:24

[NTA1907]

 

ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

MÔN TOÁN 10

 

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x-4}-\sqrt{x+2}=x-3$

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}(2y-1)=4y^{2}-4y+21\\ 3x(2y-1)^{2}=x^{2}+20 \end{matrix}\right.$

a, ĐK: $x\geq \frac{4}{3}$

Pt$\Leftrightarrow \frac{2(x-3)}{\sqrt{3x-4}+\sqrt{x+2}}=x-3$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{2}{\sqrt{3x-4}+\sqrt{x+2}}-1)=0$

Dễ rồi...

b, Hpt$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &3x^{2}(2y-1)=(2y-1)^{2}+20 \\ &3x(2y-1)^{2}=x^{2}+20 \end{matrix}\right.$

Đặt $2y-1=t$

Hệ mới: $\left\{\begin{matrix} &3x^{2}t=t^{2}+20 \\ &3xt^{2}=x^{2}+20 \end{matrix}\right.$

Trừ 2 pt trên ta được: $(x-t)(3xt+x+t)=0$

...

[trungvmfcsp]

Em xin mạn phép chém câu bđt ạ :S .

P = $\frac{(2x+3y+z)^3}{3\sqrt[3]{z^2x^2}+1}+\frac{(2y+3z+x)^3}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1}+\frac{(2z+3x+y)^3}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1}$

Vì x, y, z > 0 => Áp dụng AM-GM ta có $xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}=1$

=> xyz <= 1 => $(xyz)^2 \leq 1$ => $(zx)^2<=\frac{1}{y^2}$

=> $3\sqrt[3]{z^2x^2}+1\leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{y^2}}+1=3\sqrt[3]{\frac{1}{y}*\frac{1}{y}*1}+1<=\frac{2}{y}+2=\frac{2(y+1)}{y}$

=> $\frac{(2x+3y+z)^3}{3\sqrt[3]{z^2x^2}+1}>=\frac{y(2x+3y+z)^3}{2(y+1)}=\frac{y(x+2y+3)^3}{2(y+1)}$

Tương tự:

=> $P\geq \frac{y(x+2y+3)^3}{2(y+1)}+\frac{z(y+2z+3)^3}{2(z+1)}+\frac{x(z+2x+3)^3}{2(x+1)}$

=$\frac{y(x+1+y+1+y+1)^3}{2(y+1)}+\frac{z(y+1+z+1+z+1)^3}{2(z+1)}+\frac{x(z+1+x+1+x+1)^3}{2(x+1)}$

$\geq \frac{27y(x+1)(y+1)^2}{2(y+1)}+\frac{27z(y+1)(z+1)^2}{2(z+1)}+\frac{27x(z+1)(x+1)^2}{2(x+1)}$

=$\frac{27}{2}(y(x+1)(y+1)+z(y+1)(z+1)+x(z+1)(x+1))$

$=\frac{27}{2}(x^2+y^2+z^2+xy^2+yz^2+zx^2+x+y+z+3)$

$=\frac{27}{2}(x^2+y^2+z^2+x(y^2+1)+y(z^2+1)+z(x^2+1)+3)$

$\geq \frac{27}{2}(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3)$

$=\frac{27}{2}((x+y+z)^2+3)=\frac{27}{2}(3^2+3)=162$

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1.

=> Min P = 162 <=> x = y = z = 1. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungvmfcsp: 08-04-2016 - 20:13

[kimchitwinkle]

 

ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

MÔN TOÁN 10

 

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x-4}-\sqrt{x+2}=x-3$

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}(2y-1)=4y^{2}-4y+21\\ 3x(2y-1)^{2}=x^{2}+20 \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:

a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x^{3}+3x^{2}-4}$

b)Cho hai hàm số $y=x^{2}+2x-3$ và $y=4x+m$, ($m$ là tham số). Tìm $m$ để đồ thị các hàm số cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ đến các trục tọa độ là bằng nhau.

Câu 3:

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\dfrac{(2x+3y+z)^{3}}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{2}}+1}+\dfrac{(2y+3z+x)^{3}}{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}}+1}+\dfrac{(2z+3x+y)^{3}}{3\sqrt[3]{y^{2}z^{2}}+1}$

Câu 4: Trên đường tròn có bán kính bằng $1$ ta lấy $17$ điểm bất kì. Chứng minh rằng trong $17$ điểm đó có ít nhất $3$ điểm tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{20}$.

Câu 5:

a) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $\angle A=60$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là điểm thỏa mãn $\vec{AN}=\dfrac{2}{5}\vec{AC}$. Chứng minh rằng $AM \perp BN$

b) Cho hai đường tròn $(O_1;r)$ và $(O_2;R)$ tiếp xúc trong tại $A$ ($r<R$). Qua $A$ vẽ cát tuyến cắt $(O_1)$ tại $B$ và $(O_2)$ tại $C$ ($B, C $ khác $A$). Một đường tròn $(T)$ thay đổi luôn qua $B$ và $C$ cắt $(O_2)$ tại $D$ ($D$ khác $C$) và cắt $(O_1)$ tại $E$ ($E$ khác $B$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Chứng minh $M$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác$ABCD$ nội tiếp đường tròn $(T)$ có đường chéo AC là đường kính và $C(4;-2)$, đường chéo $BD$ có trung điểm $M(3;-1)$. Một đường thẳng qua $D$ và $E(-1;-3)$ sao cho $DE$ song song $BC$. Biết đường thẳng $AB$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các điểm $A; B; D$.

HẾT

 

2a) $x=-2,x\geq 1$

[Ankh]

Trích dẫn trungvmfcsp

Em xin mạn phép chém câu bđt ạ :S .

P = $\frac{(2x+3y+z)^3}{3\sqrt[3]{z^2x^2}+1}+\frac{(2y+3z+x)^3}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1}+\frac{(2z+3x+y)^3}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1}$

Vì x, y, z > 0 => Áp dụng AM-GM ta có $xyz\leq \frac{(x+y+z)^3}{27}=1$

=> xyz <= 1 => $(xyz)^2 \leq 1$ => $(zx)^2<=\frac{1}{y^2}$

=> $3\sqrt[3]{z^2x^2}+1\leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{y^2}}+1=3\sqrt[3]{\frac{1}{y}*\frac{1}{y}*1}+1<=\frac{2}{y}+2=\frac{2(y+1)}{y}$

=> $\frac{(2x+3y+z)^3}{3\sqrt[3]{z^2x^2}+1}>=\frac{y(2x+3y+z)^3}{2(y+1)}=\frac{y(x+2y+3)^3}{2(y+1)}$

Tương tự:

=> $P\geq \frac{y(x+2y+3)^3}{2(y+1)}+\frac{z(y+2z+3)^3}{2(z+1)}+\frac{x(z+2x+3)^3}{2(x+1)}$

=$\frac{y(x+1+y+1+y+1)^3}{2(y+1)}+\frac{z(y+1+z+1+z+1)^3}{2(z+1)}+\frac{x(z+1+x+1+x+1)^3}{2(x+1)}$

$\geq \frac{27y(x+1)(y+1)^2}{2(y+1)}+\frac{27z(y+1)(z+1)^2}{2(z+1)}+\frac{27x(z+1)(x+1)^2}{2(x+1)}$

=$\frac{27}{2}(y(x+1)(y+1)+z(y+1)(z+1)+x(z+1)(x+1))$

$=\frac{27}{2}(x^2+y^2+z^2+xy^2+yz^2+zx^2+x+y+z+3)$

$=\frac{27}{2}(x^2+y^2+z^2+x(y^2+1)+y(z^2+1)+z(x^2+1)+3)$

$\geq \frac{27}{2}(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3)$

$=\frac{27}{2}((x+y+z)^2+3)=\frac{27}{2}(3^2+3)=162$

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1.

=> Min P = 162 <=> x = y = z = 1. 

 Cách của mình có lẽ gọn hơn xíu, như sau

 Áp dụng AM-GM ta có $3\sqrt[3]{z^2x^2}+1\leq xz+x+z+1=(x+1)(z+1)$ và $(2x+3y+z)^3=(x+2y+3)^3=(x+1+y+1+y+1)^3\geq 27(x+1)(y+1)^2$

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $P\geq 27\left [\dfrac{(y+1)^2}{z+1}+\dfrac{(z+1)^2}{x+1}+\dfrac{(x+1)^2}{y+1}\right ]\geq 27(x+y+z+3)=162$

 Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ankh: 09-04-2016 - 15:51

[trungvmfcsp]

Trích dẫn trungvmfcsp

 Cách của mình có lẽ gọn hơn xíu, như sau

 Áp dụng AM-GM ta có $3\sqrt[3]{z^2x^2}+1\leq xz+x+z+1=(x+1)(z+1)$ và $(2x+3y+z)^3=(x+2y+3)^3=(x+1+y+1+y+1)^3\geq 27(x+1)(y+1)^2$

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $P\geq 27\left [\dfrac{(y+1)^2}{z+1}+\dfrac{(z+1)^2}{x+1}+\dfrac{(x+1)^2}{y+1}\right ]\geq 27(x+y+z+3)=162$

 Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Ò :3 Lúc đầu mình cx k để ý cứ biển đổi hoy :3

[satthuhiepke]

 

ĐỀ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM

MÔN TOÁN 10

 

Câu 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x-4}-\sqrt{x+2}=x-3$

b) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}(2y-1)=4y^{2}-4y+21\\ 3x(2y-1)^{2}=x^{2}+20 \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:

a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x^{3}+3x^{2}-4}$

b)Cho hai hàm số $y=x^{2}+2x-3$ và $y=4x+m$, ($m$ là tham số). Tìm $m$ để đồ thị các hàm số cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ trung điểm $I$ của đoạn $AB$ đến các trục tọa độ là bằng nhau.

Câu 3:

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\dfrac{(2x+3y+z)^{3}}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{2}}+1}+\dfrac{(2y+3z+x)^{3}}{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}}+1}+\dfrac{(2z+3x+y)^{3}}{3\sqrt[3]{y^{2}z^{2}}+1}$

Câu 4: Trên đường tròn có bán kính bằng $1$ ta lấy $17$ điểm bất kì. Chứng minh rằng trong $17$ điểm đó có ít nhất $3$ điểm tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{20}$.

Câu 5:

a) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $\angle A=60$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$, $N$ là điểm thỏa mãn $\vec{AN}=\dfrac{2}{5}\vec{AC}$. Chứng minh rằng $AM \perp BN$

b) Cho hai đường tròn $(O_1;r)$ và $(O_2;R)$ tiếp xúc trong tại $A$ ($r<R$). Qua $A$ vẽ cát tuyến cắt $(O_1)$ tại $B$ và $(O_2)$ tại $C$ ($B, C $ khác $A$). Một đường tròn $(T)$ thay đổi luôn qua $B$ và $C$ cắt $(O_2)$ tại $D$ ($D$ khác $C$) và cắt $(O_1)$ tại $E$ ($E$ khác $B$). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $CE$. Chứng minh $M$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.

Câu 6:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác$ABCD$ nội tiếp đường tròn $(T)$ có đường chéo AC là đường kính và $C(4;-2)$, đường chéo $BD$ có trung điểm $M(3;-1)$. Một đường thẳng qua $D$ và $E(-1;-3)$ sao cho $DE$ song song $BC$. Biết đường thẳng $AB$ đi qua $F(1;3)$. Tìm tọa độ các điểm $A; B; D$.

HẾT

 

ai giải giùm câu oxy cuối cùng giúp mình với