Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a+b+c=9 và a,b,c>0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
frozen2501

frozen2501

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

1) Chứng minh rằng với mọi $x,y\in R$, ta luôn có $\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{1}{3}$

2) Cho a+b+c=9 và a,b,c>0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                       $P=\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

ps:  :like  :like  :like


Every thing will be alright


#2
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

1) Chứng minh rằng với mọi $x,y\in R$, ta luôn có $\frac{x^{2}-xy+y^{2}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{1}{3}$

 

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow 3(x^2-xy+y^2) \geq x^2+xy+y^2$

                                   $\Leftrightarrow 2(x^2-2xy+y^2) \geq 0$ 

                                   $\Leftrightarrow 2(x-y)^2 \geq 0$:Đúng

BĐT ban đầu được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $x=y$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 07-04-2016 - 22:35


#3
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

$Xét Q=\sum \frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}} Ta chứng minh được: P=Q \Rightarrow 2P=\sum \frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}} Áp dụng câu 1 ta được: 2P\geq \sum \frac{a+b}{3} \Rightarrow P\geq \frac{a+b+c}{3}=3 Dấu = xảy ra\Leftrightarrow a=b=c=3$2) Cho a+b+c=9 và a,b,c>0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                       $P=\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

ps:  :like  :like  :like

Xét $Q=\sum \frac{b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$

Ta cm được: $P=Q$

$\Rightarrow 2P=\sum \frac{(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}$

Áp dụng câu 1$\Rightarrow 2P\geq \sum \frac{a+b}{3}$

$\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c}{3}=3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=3$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#4
nguyentaitue2001

nguyentaitue2001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

2) Cho a+b+c=9 và a,b,c>0. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

                       $P=\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}$

ps:  :like  :like  :like

Bài này là đề thi vào trường Lê Quý Đôn Bình Định năm 2015-2016 :))

Ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$ = $\frac{a(a^{2}+ab+b^{2})-a^{2}b-ab^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}$

      = $a-\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}$ $\geq a-\frac{ab(a+b)}{3ab}$=$a-\frac{a+b}{3}$
Biến đổi tương tự suy ra $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}$ $\geq \frac{a+b+c}{3}=3$


#5
phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

4 cách: :)

CodeCogsEqn2.gif






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh