Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $v_{p}(\frac{x^{k} + y^{k}}{x + y}) = v_{p}(k)$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Cho $x, y$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, $p \ge 3$ là một số nguyên tố, và $k$ là một số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $p - 1$.
Chứng minh rằng $v_{p}(\frac{x^{k} + y^{k}}{x + y}) = v_{p}(k)$

Nguồn: AoPS



#2
Visitor

Visitor

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Cho $x, y$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, $p \ge 3$ là một số nguyên tố, và $k$ là một số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $p - 1$.
Chứng minh rằng $v_{p}(\frac{x^{k} + y^{k}}{x + y}) = v_{p}(k)$

Nguồn: AoPS

Dựa vào LTE ta chỉ cần chứng minh nếu $x^k+y^k \vdots p$ thì $x+y \vdots p$

Thật vậy, do $(k,p-1)=1$ nên là $k$ lẻ và tồn tại $u,v$ ko âm sao cho $uk-v(p-1)=1$

Ta có : $x^{k}\equiv -y^k\equiv (-y)^{k}(modp)\Rightarrow x^{uk} \equiv(-y)^{uk}(modp)$

và do $(x,p)=(y,p)=1$ : $x^{p-1}\equiv 1\equiv (-y)^{p-1}(modp)\Rightarrow x^{v(p-1)} \equiv(-y)^{v(p-1)}(modp)$

suy ra $x \equiv -y(modp)$ $\Rightarrow x+y \vdots p$ $đpcm$


__________

Bruno Mars


#3
Fr13nd

Fr13nd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Dựa vào LTE ta chỉ cần chứng minh nếu $x^k+y^k \vdots p$ thì $x+y \vdots p$

Thật vậy, do $(k,p-1)=1$ nên là $k$ lẻ và tồn tại $u,v$ ko âm sao cho $uk-v(p-1)=1$

Ta có : $x^{k}\equiv -y^k\equiv (-y)^{k}(modp)\Rightarrow x^{uk} \equiv(-y)^{uk}(modp)$

và do $(x,p)=(y,p)=1$ : $x^{p-1}\equiv 1\equiv (-y)^{p-1}(modp)\Rightarrow x^{v(p-1)} \equiv(-y)^{v(p-1)}(modp)$

suy ra $x \equiv -y(modp)$ $\Rightarrow x+y \vdots p$ $đpcm$

đoạn đó bạn hạ bậc kiểu gì vậy 


LENG KENG...


#4
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết

Ý tưởng Visitor là đúng rồi.
Mình chỉ góp một lời giải khác như sau. Nhận xét $k$ lẻ và từ $\gcd(x, y) = 1$ thì
Ta có $x^{k} \equiv -y^{k} \pmod{3} \iff (-xy^{-1})^{k} \equiv 1\pmod{p}$
Mặt khác, để ý là $\gcd(-xy^{-1}, p) = 1$ nên theo định lý Fermat, $(-xy^{-1})^{p - 1} \equiv 1\pmod{p}$
Theo tính chất của cấp thì $\text{ord}_{p}(-xy^{-1}) \mid \gcd(p - 1, k) = 1$. Từ đây suy ra $x \equiv -y \pmod{p}$.
Từ đó áp dụng bổ đề LTE có đpcm.
 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh