Ký hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong hệ thập phân. Chứng minh rằng
$$\lim_{n\to \infty}S(2^{n}) = +\infty$$
Nguồn: Facebook
$$\lim_{n\to \infty}S(2^{n}) = +\infty$$
#2
Đã gửi 11-04-2016 - 22:43
Ký hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong hệ thập phân. Chứng minh rằng
$$\lim_{n\to \infty}S(2^{n}) = +\infty$$
Nguồn: Facebook
Ta làm kiểu chia các chữ số của $2^n$ thành các nhóm nhỏ.
Giả sử $2^n=(a_{k}a_{k-1}...a_{1})_{(10)}$. Ta chứng minh với $i$ thíc hợp thì trong các chữ số $a_{i+1},a_{i+2},...a_{4i}$ sẽ có ít nhất một chữ số khác $0$.
Thật vậy, phản chứng là ko xảy ra điều trên, tức là các chữ số $a_{i+1},a_{i+2},...a_{4i}$ đều bằng $0$.
Đặt $a=(a_{i}a_{i-1}...a_{1})_{(10)}$ suy ra $2^n-a \vdots 10^{4i} \vdots2^{4i}$.
CHọn $i<\frac{n}{4}$ thì ta sẽ có $a \vdots 2^{4i}$, vô lí vì $a < 10^i <2^{4i}$
vậy nx trên đúng.
Với $n$ càng lớn thì càng chia được nhiều nhóm kiểu như $a_{i+1},a_{i+2},...a_{4i}$, mà tổng các chữ số mỗi nhóm khác $0$ nên hiển nhiên $\lim_{n\to \infty}S(2^{n}) = +\infty$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 11-04-2016 - 22:44
- Ego yêu thích
__________
Bruno Mars
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh