Chủ đề này có 1 trả lời

[Ego]

Ký hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong hệ thập phân. Chứng minh rằng
$$\lim_{n\to \infty}S(2^{n}) = +\infty$$

Nguồn: Facebook

[Visitor]

Ký hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$ trong hệ thập phân. Chứng minh rằng
$$\lim_{n\to \infty}S(2^{n}) = +\infty$$

Nguồn: Facebook

Ta làm kiểu chia các chữ số của $2^n$ thành các nhóm nhỏ.

Giả sử $2^n=(a_{k}a_{k-1}...a_{1})_{(10)}$. Ta chứng minh với $i$ thíc hợp thì trong các chữ số $a_{i+1},a_{i+2},...a_{4i}$ sẽ có ít nhất một chữ số khác $0$.

Thật vậy, phản chứng là ko xảy ra điều trên, tức là  các chữ số $a_{i+1},a_{i+2},...a_{4i}$ đều bằng $0$.

 Đặt $a=(a_{i}a_{i-1}...a_{1})_{(10)}$ suy ra $2^n-a \vdots 10^{4i} \vdots2^{4i}$.

CHọn $i<\frac{n}{4}$ thì ta sẽ có $a \vdots 2^{4i}$, vô lí vì $a < 10^i <2^{4i}$

vậy nx trên đúng.

Với $n$ càng lớn thì càng chia được nhiều nhóm kiểu như $a_{i+1},a_{i+2},...a_{4i}$, mà tổng các chữ số mỗi nhóm khác $0$ nên hiển nhiên $\lim_{n\to \infty}S(2^{n}) = +\infty$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 11-04-2016 - 22:44