Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{5}{2}(a+1)(b+1)(c+1)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
jupiterhn9x

jupiterhn9x

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 71 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{5}{2}(a+1)(b+1)(c+1)$



#2
Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{5}{2}(a+1)(b+1)(c+1)$

Bài toán 1. Cho các số thực không âm $a;b;c$, ta luôn có bất đẳng thức đúng sau:
$$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}+a^{2}} \geq \dfrac{10}{(a+b+c)^{2}}$$

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min${$a;b;c$}. Lúc này, ta có các bất đẳng sau:
$$(a+\dfrac{c}{2})^{2}+(b+\dfrac{c}{2})^{2} \geq (a+0)^{2}+(b+0)^{2}=a^{2}+b^{2}$$
$$(a+\dfrac{c}{2})^{2} = a^{2}+ca+\dfrac{c^{2}}{4} \geq a^{2}+c^{2}$$

$$(b+\dfrac{c}{2})^{2} = b^{2}+bc+\dfrac{c^{2}}{4} \geq b^{2}+c^{2}$$

Do đó,

$$\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}+a^{2}} \geq \dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^{2}+(b+\dfrac{c}{2})^{2}}+\dfrac{1}{(a+\dfrac{c}{2})^{2}}+\dfrac{1}{(b+\dfrac{c}{2})^{2}}$$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}(x\geq0) \\ y=b+\dfrac{c}{2}(y\geq0) \end{matrix}\right.$. Lúc này, $x+y=a+b+c$.

Bây giờ ta cần chứng minh

$$\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geq \dfrac{10}{(x+y)^{2}}$$

Thật vậy,

Kết hợp sử dụng hai bất đẳng thức $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$, ta có:
$$\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right)+ \dfrac{5}{8}\left(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\right) \geq \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{3}{8}.\dfrac{4}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{5}{8}.\dfrac{2}{xy}=\dfrac{5}{2}(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{1}{2xy})\geq \dfrac{5}{2}.\dfrac{4}{(x+y)^{2}}=\dfrac{10}{(x+y)^{2}}$$.

Bài toán được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi một trong ba số $a;b;c$ bằng $0$ và hai số còn lại bằng nhau khác $0$.

 

Bài toán 2. Cho các số thực không âm $a;b;c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$A=(a+1)(b+1)(c+1)$$
Lời giải. Ta có:

$$A=abc+ab+bc+ca+a+b+c+1 \geq 0+1+a+b+c+1=a+b+c+2$$

 

Áp dụng vào bài toán. Theo bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:
$$P \geq \dfrac{10}{(a+b+c)^{2}}+\dfrac{5}{2}.(a+b+c+2)=\dfrac{10}{(a+b+c)^{2}}+\dfrac{5}{4}(a+b+c)+\dfrac{5}{4}(a+b+c)+5 \geq 3.\sqrt[3]{\dfrac{10.5.5}{4.4}}+5=\dfrac{15}{2}+5=\dfrac{25}{2}$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $\dfrac{25}{2}$ khi và chỉ khi $(a;b;c)=(0;1;1);(1;0;1);(1;1;0)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 08-04-2016 - 20:08





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh