Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangson2598]

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

$\frac{(a+b+c)^3}{abc}+(\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2})^2\geq 28$

[tquangmh]

Em nghĩ đề là : 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng  :

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})^{2}\geq 28$

Giải (theo đề sửa) : 

_ Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta có : 

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\geq abc\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{3}}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geq 27$

_ Có đánh giá quen thuộc : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow \frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq 1$

_ Bình phương BĐT 2 lên rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.

_ Dấu "=" khi : $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 08-04-2016 - 22:14

[hoangson2598]

Em nghĩ đề là : 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng  :

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})^{2}\geq 28$

Giải (theo đề sửa) : 

_ Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta có : 

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\geq abc\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{3}}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geq 27$

_ Có đánh giá quen thuộc : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow \frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq 1$

_ Bình phương BĐT 2 lên rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.

_ Dấu "=" khi : $a=b=c$

Đề đúng rồi đấy, không đơn giản dùng cosi ra luôn được đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangson2598: 08-04-2016 - 22:17

[phamhuy1801]

Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:

$\frac{(a+b+c)^3}{abc}+(\frac{ab+ac+bc}{a^2+b^2+c^2})^2\geq 28$

 

Ta có : $P=(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2+\frac{(a+b+c)^3}{abc}$

$=(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2+(a+b+c)^{2}.\frac{a+b+c}{abc}$

$=(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2+(a+b+c)^2.(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

$=(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2+(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca))(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}) \geq \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{ab+bc+ca}+2(ab+bc+ca)\frac{9}{ab+bc+ca}$

$\rightarrow P \geq (\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2})^2+\frac{9(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca} +18$

Đặt $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=x$ thì $x \ge 1$ và $P \ge \frac{1}{x^2}+9x+18$....