Chủ đề này có 2 trả lời

[quanghung86]

Sắp tới mình và bạn Nguyễn Tiến Dũng sẽ ra mắt chuyên đề cực và đối cực trên báo Epsilon, bài viết có thể coi là một tài liệu khá hoàn chỉnh bằng tiếng Việt viết về cực và đối cực. Sau đây là lược trích một bài toán hay trong chuyên đề.

 

Cho tam giác $ABC$ có các đường tròn mixtilinear nội ứng với $A,B,C$ lần lượt là $(O_a),(O_b),(O_c)$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là cực của các đường thẳng $O_bO_c,O_cO_a,O_aO_b$ đối với các đường tròn $(O_a),(O_b),(O_c)$. Chứng minh rằng $AD,BE,CF$ đồng quy.

[baopbc]

Sắp tới mình và bạn Nguyễn Tiến Dũng sẽ ra mắt chuyên đề cực và đối cực trên báo Epsilon, bài viết có thể coi là một tài liệu khá hoàn chỉnh bằng tiếng Việt viết về cực và đối cực. Sau đây là lược trích một bài toán hay trong chuyên đề.

 

Cho tam giác $ABC$ có các đường tròn mixtilinear nội ứng với $A,B,C$ lần lượt là $(O_a),(O_b),(O_c)$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là cực của các đường thẳng $O_bO_c,O_cO_a,O_aO_b$ đối với các đường tròn $(O_a),(O_b),(O_c)$. Chứng minh rằng $AD,BE,CF$ đồng quy.

Em bổ sung thêm một chút cho bài toán như sau: $AD,BE,CF$ đồng quy tại một điểm thuộc $OI$.

Lời giải bài toán.

Để giải quyết bài toán, ta cần có một số bổ đề sau:

Bổ đề 1.

Cho tam giác $ABC. O_b,O_c$ lần lượt là các đường tròn $Mixilinear$ ứng với $\angle B,\angle C$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AI$ cắt $AB,AC$ tại $A_b,A_c$. Chứng minh $O_bO_c,A_bA_c,BC$ đồng quy.

Chứng minh. Mọi người có thể tham khảo chứng minh tại đây tính chất số $2.3$.

Bổ đề 2.

Cho hai điểm $A,B$ và đường tròn $(O)$. Gọi $C$ là giao điểm của các đường đối cực của $A,B$. Khi đó $AB$ là đường đối cực của $C$ đối với $(O)$

Đây là tính chất cơ bản của đường đối cực, mình xin phép không chứng minh lại ở đây.

Hình vẽ bổ đề 2

Quay lại bài toán.

Gọi $A_1$ là giao của $O_bO_c$ với $A_b,A_c$ thì theo bổ đề $2, AD$ là đường đối cực của $A_1$ với $(O_a)$

$\Rightarrow A(A_1D,BC)=-1\Rightarrow AD$ đi qua giao điểm của $BA_b,CA_c$.Ta viết lại bài toán như sau:

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc $AI$ cắt $AC,AB$ tại $E,F. BE,CF$ cắt nhau tại $X$. Tương tự ta xác định $Y,Z$. Chứng minh $AX,BY,CZ$ đồng quy.

Lời giải. Gọi $X_1$ là giao của $AX$ với $BC$. Áp dụng định lí $Ceva$ cho tam giác $ABC$ với sự đồng quy tại $X$ ta suy ra $\frac {BX_1}{CX_1}=\frac {BF}{CE}$

Hình vẽ 1

Vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac {BF}{CE}.\frac {AL}{CK}.\frac {BM}{AN}=1$. Dễ thấy $LN,MF,NE$ lần lượt song song với $BC,CA,AB$ nên đẳng thức đúng.

Vậy $AX,BY,CZ$ đồng quy. $\blacksquare$

Hình vẽ 2

 

Đoạn cuối có thể mở rộng ra một điểm $P$ bất kì trong tam giác, phát biểu như sau.

Cho tam giác $ABC. P$ là một điểm bất kì trong tam giác. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $AP$ cắt $AC,AB$ tại $E,F. BE,CF$ cắt nhau tại $X$. Tương tự xác định được hai điểm $Y,Z$. Chứng minh $AX,BY,CZ$ đồng quy.

Hình vẽ

P/s.

Mong rằng có ai đó có cách chứng minh đồng quy trên $OI$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 09-04-2016 - 12:35

[baopbc]

với tỉ số đó ta có được AX1 đi qua tiếp điểm của đường tròn A mixtlinear incircle với (O) các đường đó đồng quy tại tâm vị tự trong của (O) và (I)

Chắc bạn có sự nhầm lẫn gì ở đây! $AX_1$ không đi qua tiếp điểm của đường tròn $mixilinear$ ứng với đỉnh $A$ của tam giác $ABC$. Bạn có thể xem hình dưới!

Hình vẽ

Nói thêm một chút, nếu $AX_1$ đi qua tiếp điểm của $A$ mixilinear incircle với $(O)$ thì nó đồng quy tại tâm vị tự ngoài của $(O),(I)$ chứ không phái là tâm vị tự trong. Bạn xem tại đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 09-04-2016 - 11:22