Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 5 Bình chọn

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geqslant A(x+y+z)+B$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 08-04-2016 - 23:37

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z+xyz=4$,chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \left ( \frac{17\sqrt{17}-47}{8} \right )(x+y+z)+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-04-2016 - 11:58

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 23-10-2017 - 20:16

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z+xyz=4$,chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \left ( \frac{17\sqrt{17}-47}{8} \right )(x+y+z)+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$$

Mình thấy bài này hình như không chỉ có 1 dấu bằng tại 3 biến bằng nhau :  x=y=z=1

Cho thử x=y=t , khi đó ta có $z=\frac{4-2t}{t^2+1}$ ( t > 0 )

Vậy ta sẽ tìm t để $\frac{2}{t}+\frac{t^2+1}{4-2t}=\frac{17\sqrt{17}-47}{8}(2t+\frac{4-2t}{t^2+1})+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$

Phương trình này chuyển về thành phương trình bậc 5 , ngoài nghiệm t=1 còn ra 1 nghiệm nữa là t=0,831987.....

Liệu dấu bằng này có đúng không ạ ??? Mọi người cho mình xin ít ý kiến với ???  ^_^ 


                                                                      !  ĐÃ YÊU VÀ SẼ CỐ ĐỂ TIẾP TỤC YÊU !


#3 Dragon Knight

Dragon Knight

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ôi Lạc Trôi Giữa Đường Phố Hà Nội
  • Sở thích:1 năm không tắm [1508]

Đã gửi 28-10-2017 - 21:28

Vậy tức là phải xét 2 trường hợp đúng không ?


Leonhard Euler [15/4/1707 - 18/9/1783]

                  ----- Never give up -----


#4 Tsukuyo Inaba

Tsukuyo Inaba

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:F.A

Đã gửi 18-11-2017 - 21:09

Chúng ta thử xử ký bài toán tổng quát hơn xem:

Cho x, y, z>0 sao cho: xyz+x+y+z=4

Tìm k lớn nhất sao cho:

1/x +1/y +1/z>=k(x+y+z)+3-3k

Hướng của mình như thế này: (Lính mới nhập môn thông cảm tí nha)

+B1: Chứng minh: Nếu x=<y=<z thì x+y=<2

Cài này dễ thôi: Nếu x+y>2 thì z>=y>2-x

Suy ra 4>=x(2-x)2 -x+4 => Mâu thuẫn

+B2: Dồn biến kiểu P(x;y;z)>=P((x+y)/2;(x+y)/2:t)

+B3: Cm theo bđt 1 biến

Mình mới thử thì thấy k=,3/2 nó đúng. Mong các cao nhân triển tiếp hộ em.



#5 Tsukuyo Inaba

Tsukuyo Inaba

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:F.A

Đã gửi 19-11-2017 - 21:01

Ta chứng minh bài toán tổng quát:
Tìm hằng số k lớn nhất sao cho bất đẳng thức đúng với mọi x; y; z thỏa mãn:x+y+z+xyz=4
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant   k(x+y+z)+3-3k
Cm:
B1: Ko mất tính tổng quát, giả sử x\leqslant y\leqslant z
Ta sẽ chứng minh x+y\leqslant 2
Giả sử ngược lại x+y> 2
Suy ra: z\geqslant y> 2-x
Suy ra 4\geqslant  x*(2-x)^{2}-x=>Mâu thuẫn
B2: Gọi P(x;y;z)=VT-VP
Ta sẽ chứng minh: P(x;y;z)\geqslant  P(\frac{x+y}{2};\frac{x+y}{2};t)
Sau khi biến đổi ta thu được:
(x-y)^{2}*(\frac{1}{xy(x+y)}-\frac{1}{4(4-x-y)}-\frac{k(4-x-y)}{4(xy+1)((\frac{x+y}{2}))+1})
Sau đó ta làm như thế này:
*Cố định x+y ta thu được hàm 1 biến của xy
Ta chứng minh f{xy}'< 0(Mấy đoạn này mình nghĩ các bạn có thể xử lý được!)
*Sau đó thu được f(xy)\geqslant f(\frac{(x+y)^{2}}{4})
Tiếp tục chứng minh hàm f(t)=\frac{4}{t^{3}}-\frac{1}{4(4-t)}-\frac{k(4-x)}{4(\frac{x^{2}}{4}+1)^{2}}\geqslant 0(0\leqslant  t\leqslant  1)(Cái này chạy table chắc được, cho k=3 cho dễ nhìn).
Cuối cùng tìm k max để:
\frac{2}{t}+\frac{t^{2}+1}{4-2x}\geqslant k(2x+\frac{4-2x}{x^{2}}+1)+3-3k
Tương đương k\leqslant \frac{(t+8)*(t^{2}+1)}{x(4-2x)(2x+1)}với 0\leqslant x\leqslant 1
Cái này tính ra k đúng bằng số k cho trong đề!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh