Đến nội dung


Thông báo


Thời gian vừa qua chức năng nhập mã an toàn lúc đăng kí thành viên của diễn đàn đã hoạt động không ổn định, do đó có nhiều bạn đã không thể đăng kí thành viên. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết. Ban Quản Trị chân thành xin lỗi những thành viên đã gặp trục trặc lúc đăng kí.


Hình ảnh
* * * * * 5 Bình chọn

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geqslant A(x+y+z)+B$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 08-04-2016 - 23:37

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z+xyz=4$,chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \left ( \frac{17\sqrt{17}-47}{8} \right )(x+y+z)+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 09-04-2016 - 11:58

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 viet9a14124869

viet9a14124869

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:~NGT~

Đã gửi 23-10-2017 - 20:16

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z+xyz=4$,chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \left ( \frac{17\sqrt{17}-47}{8} \right )(x+y+z)+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$$

Mình thấy bài này hình như không chỉ có 1 dấu bằng tại 3 biến bằng nhau :  x=y=z=1

Cho thử x=y=t , khi đó ta có $z=\frac{4-2t}{t^2+1}$ ( t > 0 )

Vậy ta sẽ tìm t để $\frac{2}{t}+\frac{t^2+1}{4-2t}=\frac{17\sqrt{17}-47}{8}(2t+\frac{4-2t}{t^2+1})+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$

Phương trình này chuyển về thành phương trình bậc 5 , ngoài nghiệm t=1 còn ra 1 nghiệm nữa là t=0,831987.....

Liệu dấu bằng này có đúng không ạ ??? Mọi người cho mình xin ít ý kiến với ???  ^_^ 


                                                                      !  ĐÃ YÊU VÀ SẼ CỐ ĐỂ TIẾP TỤC YÊU !


#3 Dragon Knight

Dragon Knight

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ôi Lạc Trôi Giữa Đường Phố Hà Nội
  • Sở thích:1 năm không tắm [1508]

Đã gửi 28-10-2017 - 21:28

Vậy tức là phải xét 2 trường hợp đúng không ?


Leonhard Euler [15/4/1707 - 18/9/1783]

                  ----- Never give up -----


#4 Tsukuyo Inaba

Tsukuyo Inaba

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:F.A

Đã gửi 18-11-2017 - 21:09

Chúng ta thử xử ký bài toán tổng quát hơn xem:

Cho x, y, z>0 sao cho: xyz+x+y+z=4

Tìm k lớn nhất sao cho:

1/x +1/y +1/z>=k(x+y+z)+3-3k

Hướng của mình như thế này: (Lính mới nhập môn thông cảm tí nha)

+B1: Chứng minh: Nếu x=<y=<z thì x+y=<2

Cài này dễ thôi: Nếu x+y>2 thì z>=y>2-x

Suy ra 4>=x(2-x)2 -x+4 => Mâu thuẫn

+B2: Dồn biến kiểu P(x;y;z)>=P((x+y)/2;(x+y)/2:t)

+B3: Cm theo bđt 1 biến

Mình mới thử thì thấy k=,3/2 nó đúng. Mong các cao nhân triển tiếp hộ em.



#5 Tsukuyo Inaba

Tsukuyo Inaba

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:F.A

Đã gửi 19-11-2017 - 21:01

Ta chứng minh bài toán tổng quát:
Tìm hằng số k lớn nhất sao cho bất đẳng thức đúng với mọi x; y; z thỏa mãn:x+y+z+xyz=4
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant   k(x+y+z)+3-3k
Cm:
B1: Ko mất tính tổng quát, giả sử x\leqslant y\leqslant z
Ta sẽ chứng minh x+y\leqslant 2
Giả sử ngược lại x+y> 2
Suy ra: z\geqslant y> 2-x
Suy ra 4\geqslant  x*(2-x)^{2}-x=>Mâu thuẫn
B2: Gọi P(x;y;z)=VT-VP
Ta sẽ chứng minh: P(x;y;z)\geqslant  P(\frac{x+y}{2};\frac{x+y}{2};t)
Sau khi biến đổi ta thu được:
(x-y)^{2}*(\frac{1}{xy(x+y)}-\frac{1}{4(4-x-y)}-\frac{k(4-x-y)}{4(xy+1)((\frac{x+y}{2}))+1})
Sau đó ta làm như thế này:
*Cố định x+y ta thu được hàm 1 biến của xy
Ta chứng minh f{xy}'< 0(Mấy đoạn này mình nghĩ các bạn có thể xử lý được!)
*Sau đó thu được f(xy)\geqslant f(\frac{(x+y)^{2}}{4})
Tiếp tục chứng minh hàm f(t)=\frac{4}{t^{3}}-\frac{1}{4(4-t)}-\frac{k(4-x)}{4(\frac{x^{2}}{4}+1)^{2}}\geqslant 0(0\leqslant  t\leqslant  1)(Cái này chạy table chắc được, cho k=3 cho dễ nhìn).
Cuối cùng tìm k max để:
\frac{2}{t}+\frac{t^{2}+1}{4-2x}\geqslant k(2x+\frac{4-2x}{x^{2}}+1)+3-3k
Tương đương k\leqslant \frac{(t+8)*(t^{2}+1)}{x(4-2x)(2x+1)}với 0\leqslant x\leqslant 1
Cái này tính ra k đúng bằng số k cho trong đề!



#6 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1316 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-11-2017 - 08:21

Ta chứng minh bài toán tổng quát:

Bạn phải đặt 2 dấu đô la ($) kẹp giữa công thức toán thì nó mới hiện lên dưới dạng LaTeX được, xem thêm
https://diendantoanh...công-thức-toán/
Bạn thử vào sửa lại đi rồi mình nhận xét bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 25-11-2017 - 08:21

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh