Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$

aops

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-04-2016 - 22:15

Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$

Nhận xét

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 11-04-2016 - 12:05


#2 davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Hình học, bất đẳng thức

Đã gửi 11-04-2016 - 00:48

Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dương $a, b$ thỏa $p = a + b$ với $p$ là số nguyên tố thì $2ab = c^{2} + d^{2}$

Nhận xét

 

Theo đề bài của bạn thì với $a=2$ và $b=3$ thì không tồn tại $c,d$. Mình nghĩ đề như sau mới chính xác:  

 

Chứng minh nếu hai số nguyên dương $a,b$ thỏa $a+b=p$ với $p$ là số nguyên tố thì tồn tại $c,d$ sao cho $2ab=c^{2}-d^{2}$

 

Chứng minh như sau: Với $p=2$ ta dễ chứng minh được. Xét $p> 2$ thì $p$ lẻ nên có thể giả sử $a$ chẵn.

 

Khi đó ta có thể chọn $c=\frac{a}{2}+b$ và $d=\frac{a}{2}-b$ thì $2ab=c^2-d^2$.

 

Bài toán được chứng minh.



#3 Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-04-2016 - 12:06

À, xin lỗi bạn. Mình đọc được vài ngày trước nên đã ghi lại sai. Đã sửa.
Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$

#4 Visitor

Visitor

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:làng Foosha

Đã gửi 11-04-2016 - 22:29

Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$

Nhận xét

Hướng đi của mình dài :v

Nhận xét $1$: mọi số nguyên tố dạng $4l+1$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương. Cái này cơ bản.

Nhận xét $2$: mọi số nguyên dương có dạng $2^{\alpha }(4l+1)$ với $\alpha  =0$ hoặc $\alpha  =1$ hoặc $\alpha=2$ hoặc $\alpha$ bất kì :))

đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương

cái này cm rất dễ dựa vào nhận xét $1$.

 

Nếu $p=4t+1$, chọn $a=4$, $b=4t-3$ thì $2ab=2^3(4t-3)$, theo nhận xét $2$ ta có $đpcm$

Nếu $p=4t+3$, chọn $a=2$, $b=4t+1$ thì $2ab=2^2(4t+1)$, theo nhận xét $2$ ta cũng có $đpcm$.

Các trường hợp $p$ nhỏ nhỏ rất dễ để chỉ ra nên ko xét.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 11-04-2016 - 22:30

__________

Bruno Mars


#5 Stoker

Stoker

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Đã gửi 27-05-2016 - 15:29

Hướng đi của mình dài :v

Nhận xét $1$: mọi số nguyên tố dạng $4l+1$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương. Cái này cơ bản.

Nhận xét $2$: mọi số nguyên dương có dạng $2^{\alpha }(4l+1)$ với $\alpha  =0$ hoặc $\alpha  =1$ hoặc $\alpha=2$ hoặc $\alpha$ bất kì :))

đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương

cái này cm rất dễ dựa vào nhận xét $1$.

 

Nếu $p=4t+1$, chọn $a=4$, $b=4t-3$ thì $2ab=2^3(4t-3)$, theo nhận xét $2$ ta có $đpcm$

Nếu $p=4t+3$, chọn $a=2$, $b=4t+1$ thì $2ab=2^2(4t+1)$, theo nhận xét $2$ ta cũng có $đpcm$.

Các trường hợp $p$ nhỏ nhỏ rất dễ để chỉ ra nên ko xét.

 

Cho mình hỏi ở nhận xét 2, $4l+1$ có phải là số nguyên tố không? Nếu không thì mình thấy trường hợp số $l=5$, $\alpha =0$ sai. Còn nếu $4l+1$ là số nguyên tố thì phần ở dưới, $4t-3$ chưa chắc là số nguyên tố.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: aops

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh