Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 11-04-2016 - 12:05
#1
Đã gửi 10-04-2016 - 22:15
- Fr13nd, dunghoiten, Visitor và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 11-04-2016 - 00:48
Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dương $a, b$ thỏa $p = a + b$ với $p$ là số nguyên tố thì $2ab = c^{2} + d^{2}$
Nhận xét
Theo đề bài của bạn thì với $a=2$ và $b=3$ thì không tồn tại $c,d$. Mình nghĩ đề như sau mới chính xác:
Chứng minh nếu hai số nguyên dương $a,b$ thỏa $a+b=p$ với $p$ là số nguyên tố thì tồn tại $c,d$ sao cho $2ab=c^{2}-d^{2}$
Chứng minh như sau: Với $p=2$ ta dễ chứng minh được. Xét $p> 2$ thì $p$ lẻ nên có thể giả sử $a$ chẵn.
Khi đó ta có thể chọn $c=\frac{a}{2}+b$ và $d=\frac{a}{2}-b$ thì $2ab=c^2-d^2$.
Bài toán được chứng minh.
#4
Đã gửi 11-04-2016 - 22:29
Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$
Nhận xét
Hướng đi của mình dài :v
Nhận xét $1$: mọi số nguyên tố dạng $4l+1$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương. Cái này cơ bản.
Nhận xét $2$: mọi số nguyên dương có dạng $2^{\alpha }(4l+1)$ với $\alpha =0$ hoặc $\alpha =1$ hoặc $\alpha=2$ hoặc $\alpha$ bất kì
đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương
cái này cm rất dễ dựa vào nhận xét $1$.
Nếu $p=4t+1$, chọn $a=4$, $b=4t-3$ thì $2ab=2^3(4t-3)$, theo nhận xét $2$ ta có $đpcm$
Nếu $p=4t+3$, chọn $a=2$, $b=4t+1$ thì $2ab=2^2(4t+1)$, theo nhận xét $2$ ta cũng có $đpcm$.
Các trường hợp $p$ nhỏ nhỏ rất dễ để chỉ ra nên ko xét.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 11-04-2016 - 22:30
- PlanBbyFESN và Ego thích
__________
Bruno Mars
#5
Đã gửi 27-05-2016 - 15:29
Hướng đi của mình dài :v
Nhận xét $1$: mọi số nguyên tố dạng $4l+1$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương. Cái này cơ bản.
Nhận xét $2$: mọi số nguyên dương có dạng $2^{\alpha }(4l+1)$ với $\alpha =0$ hoặc $\alpha =1$ hoặc $\alpha=2$ hoặc $\alpha$ bất kì
đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương
cái này cm rất dễ dựa vào nhận xét $1$.
Nếu $p=4t+1$, chọn $a=4$, $b=4t-3$ thì $2ab=2^3(4t-3)$, theo nhận xét $2$ ta có $đpcm$
Nếu $p=4t+3$, chọn $a=2$, $b=4t+1$ thì $2ab=2^2(4t+1)$, theo nhận xét $2$ ta cũng có $đpcm$.
Các trường hợp $p$ nhỏ nhỏ rất dễ để chỉ ra nên ko xét.
Cho mình hỏi ở nhận xét 2, $4l+1$ có phải là số nguyên tố không? Nếu không thì mình thấy trường hợp số $l=5$, $\alpha =0$ sai. Còn nếu $4l+1$ là số nguyên tố thì phần ở dưới, $4t-3$ chưa chắc là số nguyên tố.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: aops
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
VMF's Marathon Bất Đẳng Thức OlympicBắt đầu bởi hoanglong2k, 23-05-2016 marathon, aops, vmf |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Xác định tập hợp liên quan đến số chính phương mod $p$Bắt đầu bởi Zaraki, 25-10-2015 indian tst, aops |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh