Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$

- - - - - aops

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$

Nhận xét

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 11-04-2016 - 12:05


#2
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Chứng minh rằng nếu hai số nguyên dương $a, b$ thỏa $p = a + b$ với $p$ là số nguyên tố thì $2ab = c^{2} + d^{2}$

Nhận xét

 

Theo đề bài của bạn thì với $a=2$ và $b=3$ thì không tồn tại $c,d$. Mình nghĩ đề như sau mới chính xác:  

 

Chứng minh nếu hai số nguyên dương $a,b$ thỏa $a+b=p$ với $p$ là số nguyên tố thì tồn tại $c,d$ sao cho $2ab=c^{2}-d^{2}$

 

Chứng minh như sau: Với $p=2$ ta dễ chứng minh được. Xét $p> 2$ thì $p$ lẻ nên có thể giả sử $a$ chẵn.

 

Khi đó ta có thể chọn $c=\frac{a}{2}+b$ và $d=\frac{a}{2}-b$ thì $2ab=c^2-d^2$.

 

Bài toán được chứng minh.



#3
Ego

Ego

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 296 Bài viết
À, xin lỗi bạn. Mình đọc được vài ngày trước nên đã ghi lại sai. Đã sửa.
Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$

#4
Visitor

Visitor

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

Cho $p\in \mathbb{P}$. Chứng minh luôn tồn tại $a, b \in \mathbb{Z}^{+}$ thoả $a + b = p$ và $2ab = c^{2} + d^{2}$

Nhận xét

Hướng đi của mình dài :v

Nhận xét $1$: mọi số nguyên tố dạng $4l+1$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương. Cái này cơ bản.

Nhận xét $2$: mọi số nguyên dương có dạng $2^{\alpha }(4l+1)$ với $\alpha  =0$ hoặc $\alpha  =1$ hoặc $\alpha=2$ hoặc $\alpha$ bất kì :))

đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương

cái này cm rất dễ dựa vào nhận xét $1$.

 

Nếu $p=4t+1$, chọn $a=4$, $b=4t-3$ thì $2ab=2^3(4t-3)$, theo nhận xét $2$ ta có $đpcm$

Nếu $p=4t+3$, chọn $a=2$, $b=4t+1$ thì $2ab=2^2(4t+1)$, theo nhận xét $2$ ta cũng có $đpcm$.

Các trường hợp $p$ nhỏ nhỏ rất dễ để chỉ ra nên ko xét.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Visitor: 11-04-2016 - 22:30

__________

Bruno Mars


#5
Stoker

Stoker

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Hướng đi của mình dài :v

Nhận xét $1$: mọi số nguyên tố dạng $4l+1$ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương. Cái này cơ bản.

Nhận xét $2$: mọi số nguyên dương có dạng $2^{\alpha }(4l+1)$ với $\alpha  =0$ hoặc $\alpha  =1$ hoặc $\alpha=2$ hoặc $\alpha$ bất kì :))

đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng $2$ số chính phương

cái này cm rất dễ dựa vào nhận xét $1$.

 

Nếu $p=4t+1$, chọn $a=4$, $b=4t-3$ thì $2ab=2^3(4t-3)$, theo nhận xét $2$ ta có $đpcm$

Nếu $p=4t+3$, chọn $a=2$, $b=4t+1$ thì $2ab=2^2(4t+1)$, theo nhận xét $2$ ta cũng có $đpcm$.

Các trường hợp $p$ nhỏ nhỏ rất dễ để chỉ ra nên ko xét.

 

Cho mình hỏi ở nhận xét 2, $4l+1$ có phải là số nguyên tố không? Nếu không thì mình thấy trường hợp số $l=5$, $\alpha =0$ sai. Còn nếu $4l+1$ là số nguyên tố thì phần ở dưới, $4t-3$ chưa chắc là số nguyên tố.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: aops

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh