Chủ đề này có 11 trả lời

[dinhkhanhly]

[tien123456789]

câu bất ; đổi biến x=b+c, y=a+c, z=b+a $\Rightarrow$ a=$\frac{y+z-x}{2}$ ,b=$\frac{x+z-y}{2}$, c=$\frac{x+y-z}{2}$ khi đó  xyz=1                                                          bđt trở thành $\sum ((y+z-x)(x+z-y))\leq 3$  

$\Leftrightarrow 2\sum xy-\sum x^{2}\leq 3$ $\Leftrightarrow 4\sum xy-(x+y+z)^{2}\leq 3$.đổi biến p=x+y+z q=xy+yz+xz r=1 ta sẽ có

4q-$p^{2}$$\leq 3$ mà $p^{3}+9r\geq 4pq\Rightarrow 4q\leq \frac{p^{3}+9}{p}$

suy ra $\frac{p^{3}+9}{p}-p^{2}\leq 3\Rightarrow p\geq 3$ đúng suy ra đpcm

[Math Master]

detoanchuyen-1434107619_660x0.jpg

Bài bất cách 2

Chứng minh bổ đề

$9(a+b)(b+c)(a+c) \geq 8(a+b+c)(ab+bc+ac)$

Chứng minh

$VT = 9(a+b+c)(ab+bc+ac) - 9abc $

$9abc = 3\sqrt[3]{abc} . 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \leq (a+b+c)(ab+bc+ac)$

Vậy $VT \geq 8(a+b+c)(ab+bc+ac)$ (đpcm)

Áp dụng $(a+b)(b+c)(a+c) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac) \geq \frac{8}{9}(\sqrt{3(ab+bc+ac)}.(ab+bc+ac) $

Đặt $ab+bc+ac = x$

Khi đó $x\sqrt{3x} \leq \frac{9}{8} => 3x^3 \leq \frac{81}{64} => x \leq \frac{3}{4}$

Dấu"=" xảy ra khi $a=b=c= \frac{1}{2} $

[Math Master]

detoanchuyen-1434107619_660x0.jpg

Bốc câu hệ

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2 = 5 \\ x^3+2y^3 = 10(x-y) \end{matrix}\right.$

$<=> \left\{\begin{matrix} 10(x-y)(x^2+y^2) = 5(x^3+2y^3) \\ x^2+y^2 = 5 \end{matrix}\right.$

$<=> \left\{\begin{matrix} x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - 4y^3 = 0 \\ x^2+y^2 = 5 \end{matrix}\right.$

$<=> \left\{\begin{matrix} x^3 - 2x^2y + 2xy^2 - 4y^3 = 0 \\ x^2+y^2 = 5 \end{matrix}\right.$

$<=> \left\{\begin{matrix} (x^2+2y^2)(x-2y) = 0 \\ x^2+y^2 = 5 \end{matrix}\right.$

$<=> \left\{\begin{matrix} x = 2y \\ 5y^2 = 5 \end{matrix}\right.$

Với $y = 1 => x = 2$

Với $y = -1 => x = -2$

Vậy hệ có 2 cặp nghiệm $(x;y) là (2;1);(-2;-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Master: 11-04-2016 - 17:41

[SKT T1 SPAK]

Ai làm câu c bài hình cái

[Hai2003]

II)

1) Dễ thấy $n$ lẻ và $n$ không chia hết cho 5.

$A=n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)$

Vì $n$ lẻ nên $(n-1)(n+1)$ là tích 2 số chẵn liên tiếp và chia hết cho 8 $\implies A\ \vdots\ 8$

Nếu $n$ chia 5 dư 1 hay 4 thì $(n-1)(n+1)\ \vdots\ 5\implies A\ \vdots\ 5$ nên $A\ \vdots\ 40$   (do $(5;8)=1$)

Nếu $n$ chia 5 dư 2 hay 3 thì $n^2+1\ \vdots\ 5\implies A\ \vdots\ 5\implies A\ \vdots\ 40$

[Hai2003]

II)

3) Sao đề vào lớp 10 lại có bài này nhỉ? Bài này hình như có trong Hong Kong MO 2001.

Đây

[Minh Hieu Hoang]

câu số nguyên tố nè

sau một hồi biến đổi ta có :

$x(x+2)P=(y-x)(y+x+2)$

And 

$(2x(x+2)+1)p=2y(y+2)+1$ 

chia vế theo vế 

$\frac{x(x+2)}{2x(x+2)+1}=\frac{(y-x)(y+x+2)}{2y(y+2)+1}$

mà x<y nên 2x(x+2)+1<2y(y+2)+1 nên x(x+2)<(y-x)(y+x+2) (+)

Thay (+) vào pt thứ nhất ta thấy hoang đường

II)

3) Sao đề vào lớp 10 lại có bài này nhỉ? Bài này hình như có trong Hong Kong MO 2001.

Đây

Đề Ams k giới hạn kiến thức đâu bạn

[hieu31320001]

Câu vô tỷ

$x-\sqrt{x-8}-\sqrt{3x}+1=0$ (ĐKXĐ :$x\geq 8$)

$\Leftrightarrow (x+1)^{2}=(\sqrt{x-8}+3\sqrt{x})^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2}-8x-6\sqrt{x^{2}-8x}+9=0 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}-8x} =3$

$\Leftrightarrow x^{2}-8x-9=0$

$\Leftrightarrow x=-1 hoặc         x=9$

KL :x=-1,x=9

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieu31320001: 09-10-2016 - 15:04

[le truong son]

câu số nguyên tố nè

sau một hồi biến đổi ta có :

$x(x+2)P=(y-x)(y+x+2)$

And 

$(2x(x+2)+1)p=2y(y+2)+1$ 

chia vế theo vế 

$\frac{x(x+2)}{2x(x+2)+1}=\frac{(y-x)(y+x+2)}{2y(y+2)+1}$

mà x<y nên 2x(x+2)+1<2y(y+2)+1 nên x(x+2)<(y-x)(y+x+2) (+)

Thay (+) vào pt thứ nhất ta thấy hoang đường

 

Sao lại hoang đường

P/S: talex bị lỗi r, không đăng được, hic

Giải như sau:

Từ gt=>$p^2-p=2y(y+2)-2x(x+2)<=>p(p-1)=2(y-x)(x+y+2)$

Vì $p^2+1=2(y+1)^2=(y+1)^2+(y+1)^2=>p>y+1>y$=>p>y-x

Dễ thấy $(p;2)=1;(p;p-1)=1$ nên xảy ra các TH:

$p=(y-x)(x+y+2) ; p-1=2$

Hoặc $p=x+y+2; p-1=2(y-x)$

Đến đây thì dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le truong son: 09-10-2016 - 18:26

[SKT T1 SPAK]

Ai giúp bài hình cái  

[pmt22042003]

câu bất ; đổi biến x=b+c, y=a+c, z=b+a $\Rightarrow$ a=$\frac{y+z-x}{2}$ ,b=$\frac{x+z-y}{2}$, c=$\frac{x+y-z}{2}$ khi đó  xyz=1                                                          bđt trở thành $\sum ((y+z-x)(x+z-y))\leq 3$  

$\Leftrightarrow 2\sum xy-\sum x^{2}\leq 3$ $\Leftrightarrow 4\sum xy-(x+y+z)^{2}\leq 3$.đổi biến p=x+y+z q=xy+yz+xz r=1 ta sẽ có

4q-$p^{2}$$\leq 3$ mà $p^{3}+9r\geq 4pq\Rightarrow 4q\leq \frac{p^{3}+9}{p}$

suy ra $\frac{p^{3}+9}{p}-p^{2}\leq 3\Rightarrow p\geq 3$ đúng suy ra đpcm

Cho hỏi chỗ  p^3 +9r >= 4pq ; sao lại có như vậy??  Liệu có phương pháp nào ko