Chủ đề này có 7 trả lời

[Ego]

EGMO 2016

Ngày 1. (12/04/2016)
Bài 1. Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng
$$\min_{i = 1, \cdots , n} (x_{i}^{2} + x_{i + 1}^{2}) \le \max_{j = 1, \cdots , n} (2x_{j}x_{j + 1})$$
với quy ước $x_{n + 1} = x_{1}$

Bài 2. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp, và các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $X$. Gọi $C_{1}, D_{1}$ và $M$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $CX, DX$ và $CD$. Đường thẳng $AD_{1}$ và $BC_{1}$ giao nhau tại $Y$ và đường $MY$ giao đường chéo $AC$ và $BD$ lần lượt ở hai điểm khác nhau $E$ và $F$. Chứng minh rằng đường thẳng $XY$ tiếp xúc với đường tròn $(EFX)$.

Bài 3. Cho $m$ là một số nguyên dương. Xét bảng $4m \times 4m$ gồm các ô vuông đơn vị. Hai ô vuông được gọi là 'có quan hệ' với nhau nếu cùng chung một cột hoặc một hàng (không có ô nào quan hệ với chính nó). Một số ô đơn vị được tô màu xanh sao cho mọi ô vuông đơn vị đều có quan hệ với ít nhất hai ô màu xanh. Xác định giá trị nhỏ nhất của các ô màu xanh.
Ngày 2. (13/04/2016)
Bài 4. Cho hai đường tròn $(\omega_{1})$ và $(\omega_{2})$ bán kính bằng nhau cắt nhau tại hai điểm phân biệt $X_{1}, X_{2}$ và đường tròn $(\omega)$ tiếp xúc ngoài với $(\omega_{1})$ tại $T_{1}$ và tiếp xúc trong với $(\omega_{2})$ tại $T_{2}$. Chứng minh rằng $X_{1}T_{1}$ giao với $X_{2}T_{2}$ tại một điểm nằm trên $(\omega)$.
Bài 5. Cho $k$ và $n$ là các số nguyên sao cho $2\le k$ và $k\le n\le 2k - 1$. Ta phủ lên bảng vuông $n\times n$ bằng các mảnh hình chữ nhật kích thước $1\times k$ hoặc $k\times 1$ (Mỗi mảnh như vậy phủ được $k$ ô đơn vị và không có hai mảnh nào trùng nhau). Làm vậy cho đến khi không thực hiện được nữa. Với mỗi $k$ và $n$ cho trước như vậy, hãy xác định số mảnh nhỏ nhất để thực hiện.
Bài 6. Cho $S$ là tập hợp các số nguyên dương $n$ sao cho $n^{4}$ có các ước thuộc $n^{2} + 1, n^{2} + 2, \cdots n^{2} + 2n$. Chứng minh rằng có vô hạn giá trị $n$ có dạng $7k, 7k + 1, 7k + 2, 7k + 5, 7k + 6$ và không có phần tử nào dạng $7k + 3$ hoặc $7k + 4$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 14-04-2016 - 18:32

[Ego]

Một lời giải sưu tầm (Evan Chen) cho bài 1.
Đặt $x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}$ lên vòng tròn theo đúng thứ tự. Ta đặt viên sỏi trắng giữa $x_{i}$ và $x_{i + 1}$ nếu $x_{i} \ge x_{i + 1}$ và đặt viên sỏi đen nếu ngược lại. Do $n$ lẻ nên nếu không tồn tại hai viên cùng màu thì ta sẽ suy ra vô lí. Do đó có hai viên cùng màu nằm cạnh nhau, nói nôm na là ta có 3 viên sỏi liên tiếp nhau và cùng tăng / giảm. Giả sử $x_{u} \ge x_{u + 1} \ge x_{u + 2}$ thì $2x_{u}x_{u + 1} \ge 2x_{u + 1}^{2} \ge x_{u + 1}^{2} + x_{u + 2}^{2}$.
Do đó $\min(x_{i}^{2} + x_{i + 1}^{2}) \le x_{u + 1}^{2} + x_{u + 2}^{2} \le 2x_{u}x_{u + 1} \le \max(2x_{i}x_{i + 1})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 15-04-2016 - 13:03

[baopbc]

Bài 2. Cho $ABCD$ là một tứ giác nội tiếp, và các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $X$. Gọi $C_{1}, D_{1}$ và $M$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $CX, DX$ và $CD$. Đường thẳng $AD_{1}$ và $BC_{1}$ giao nhau tại $Y$ và đường $MY$ giao đường chéo $AC$ và $BD$ lần lượt ở hai điểm khác nhau $E$ và $F$. Chứng minh rằng đường thẳng $XY$ tiếp xúc với đường tròn $(EFX)$.

Câu hình khai thác một kết quả cũ như sau: Cho từ giác $ABCD$ nội tiếp. Giả sử $AD,BC$ cắt nhau tại $F. AC,BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD. MN$ cắt $BD,AC$ lần lượt tại $G,H$. Khi đó: $EF$ là tiếp tuyến với $EGH$

Bài này hình như là một bài trong Shortlist $2000$. Đã có lần em đưa lên một hệ quả của bài này và nhận được lời giải của anh $Dogsteven$ và anh $Vietnaminmyheart$

Em xin không chứng minh tại đây. Nếu muốn mọi người có thể xem trong topic này.

Quay lại bài toán. Gọi $G,H$ lần lượt là trung điểm $D_1C_1$ và $AB$.

Dễ thấy $AD_1C_1B$ là tứ giác nội tiếp nên theo nhận xét trên thì ta chỉ cần chứng minh $EF||GH$

Để ý rằng $\triangle D_1MC_1\sim \triangle BXA$ do có các cặp cạnh đối song song nên $YM,YX$ đẳng giác trong $\angle AYB$. 

$\Rightarrow YM||GH$ (hệ quả của nhận xét trên)$\Rightarrow XY$ tiếp xúc với $(EFX)\blacksquare$

Nhận xét trên là một trong những bài toán quen thuộc và có nhiều khai thác thú vị! Riêng đối với bài toán này thì em nghĩ có thể mở rộng ra các cạnh tỉ lệ cũng là một hướng đi tốt.

Hình vẽ bài toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 12-04-2016 - 23:27
Thêm Link

[Zaraki]

Hưởng ứng bài 1. Từ điều kiện $n$ lẻ ta suy ra $n \ge 3$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x_{1} \le x_{2} \le \cdots \le x_{n}$. Ta cần chứng minh $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \le 2x_{n - 1}x_{n}$
Giả sử ngược lại, $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2x_{n - 1}x_{n} \ge 2x_{n - 1}^{2} \ge x_{2}^{2} + x_{2}^{2}$. Vô lí.

Không biết có sai không :-s?

Mình không nghĩ là ta có thể giả sử $x_1 \le x_2 \le  \cdots \le x_n$ được.

[I Love MC]

ĐÁP ÁN NGÀY 1 : MỌI NGƯỜI CÙNG THAM KHẢO LỜI GIẢI CÁC NƯỚC BẠN  

[baopbc]

Bài 4. Cho hai đường tròn $(\omega_{1})$ và $(\omega_{2})$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $X_{1}, X_{2}$ và đường tròn $(\omega)$ tiếp xúc ngoài với $(\omega_{1})$ tại $T_{1}$ và tiếp xúc trong với $(\omega_{2})$ tại $T_{2}$. Chứng minh rằng $X_{1}T_{1}$ giao với $X_{2}T_{2}$ tại một điểm nằm trên $(\omega)$.

Hai đường tròn $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ phải có chung bán kính! Mọi người xem rõ hơn tại đây.

Bài này khá đơn giản và chỉ sử dụng một số kết quả quen thuộc của đường tròn tiếp xúc nhau.

Lời giải.

Gọi $O,O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của $\omega,\omega_{1},\omega_{2}$

Gọi $S$ là trung điểm $X_1X_2$. Do $(O_1)(O_2)$ có cùng bán kính nên $S$ là trung điểm $O_1O_2$.

Do $(O)$ tiếp xúc ngoài $(O_1)$ tại $T_1$ và tiếp xúc trong $(O_2)$ tại $T_2$ nên $\frac {T_1O}{T_1O_1}=\frac {T_2O}{T_2O_1}$

Áp dụng định lí $Menelaus$ ta suy ra $\overline{O_1,O_2,S}$(1)

Giả sử $X_1T_1$ cắt $(O)$ tại $T'$ thì $\frac {T_1X_1}{T_1T'}=\frac {R_{(O_1)}}{R_{(O)}}$ nên theo $(1)$ và áp dụng định lí $Menelaus$ ta suy ra $\overline{X_2,T_2,T'}$

$\Rightarrow T\equiv T'\Rightarrow \blacksquare$

Hình vẽ bài toán

Mọi người hãy tiếp tục đưa ra lời giải của mình!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 14-04-2016 - 18:41

[quanghung86]

Bài hình ngày 2 là một cấu hình đẹp và rất chặt chẽ, rất khó tác động vào, nếu có ý tưởng nào mở rộng được thì điều đó rất tuyệt !

[IMOer]

Đáp án ngày 2.

Nguồn: ssmr.ro

File gửi kèm

•  EGMO - day 2.pdf   389.93K   246 Số lần tải