Đề thi học sinh giỏi toán lớp 9 thành phố Hà Nội năm 2015-2016
#1
Đã gửi 14-04-2016 - 11:44
- Shin Janny, anhtukhon1, tpdtthltvp và 9 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 14-04-2016 - 11:51
Sao nhanh vậy mình còn vừa về @@!
$\frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x^{2}\Leftrightarrow \frac{4}{3-4x^{2}}\geq 4x\Leftrightarrow 1\geq 3x-4x^{3}\Leftrightarrow 4x^{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 3x(cosi)\Rightarrow \frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x^{2}\Rightarrow P\geq 4(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 4(xy+yz+zx)=3$
p/s: Mình còn câu 4/2/b với bài tổ hợp làm sai
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 14-04-2016 - 11:58
- hoctrocuaHolmes, CaptainCuong, Element hero Neos và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 14-04-2016 - 11:53
$\sum \frac{a^{2}}{b+c-a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c\Rightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq \Rightarrow \sum a^{2014}(\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq 0\Rightarrow dpcm\Rightarrow \bigstar$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 14-04-2016 - 12:16
- tpdtthltvp, Element hero Neos, Tran Thanh Truong và 3 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 14-04-2016 - 12:00
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ
Năm 2015-2016
ngày 14 tháng 4 năm 2016 thời gian :150'
Bài 1(5 diểm) : 1.Cho các số nguyên a,b,c,d thỏa mãn : $a^{3}+b^{3}=2(c^{3}-8d^{3})$
CMR : (a+b+c+d) chia hết cho 3
2. Tìm tất cả các số nguyên tố x sao cho $2^{x}+x^{2}$ là số nguyên tố
Bài 2(5 điểm):
1.Giải phương trình ${\sqrt{2x^{2}+11x+19}}+\sqrt{2x^{2}+5x+7}=3(x+2)$
2.Tìm tất cả các bộ số (x;y;z)thỏa mãn$x+y+z=3$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=17$
Bài 3 (3 điểm): Cho 3 số x,y,z, thỏa mãn : 0<x;y;z<$\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $xy+yz+xz$=$\frac{3}{4}$
tìm GTNN của P=$\frac{4x}{3-4x^{2}}+\frac{4y}{3-4y^{2}}+\frac{4z}{3-4z^{2}}$
2. cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh tam giác .
CmR : $\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}\geq \sum a^{2015}$
Bài 4(6 điểm) :Cho tam giác ABC cạnh bằng a.Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q#B,C).Trên tia đối tia BA lấy điểm P sao cho CQ.AP$a^{2}$.Gọi M là giao điểm của AQ và CP.
1. CM 4 điểm A,B,M,C thuộc 1 đường tròn
2.Gọi I,J,K lần lượt là hình chiếu của M lên AB,BC,CA.
a.Xác định vị trí của Q để đọ dài IK lớn nhất
b.CM $MI^{2} +MJ^{2}+MK^{2}$không đổi khi Q thay đổi trên cạnh BC
Bài 5: (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông kích thước 1.1. Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. CMR trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần
Hết
- anhtukhon1, hoctrocuaHolmes, tpdtthltvp và 9 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 14-04-2016 - 12:33
CmR : $\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}\geq \sum a^{2015}$
Ta có:
$\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}=\sum \frac{a^{4030}}{ba^{2014}+ca^{2014}-a^{2015}}\geq \frac{(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})^{2}}{(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})-(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})}$
Theo AM-GM ta có:
$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
- tpdtthltvp, Element hero Neos, Tran Thanh Truong và 4 người khác yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#6
Đã gửi 14-04-2016 - 12:52
2)
Xét x=2 =>loại
Xét x=3 => T/m
Xét x>3 => x lẻ =>$2^{x}\equiv 2 (mod 3)$
$x^{2}\equiv 1 (mod3)$
=> $2^{x} +x^{2} \equiv 0 (mod 3)(Vô lý)$
Vậy x=3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 14-04-2016 - 12:54
- Tran Thanh Truong và vu hang thích
#7
Đã gửi 14-04-2016 - 13:36
bài hệ (2,-2,3) và các hoán vị
#8
Đã gửi 14-04-2016 - 14:42
Ta có:
$\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}=\sum \frac{a^{4030}}{ba^{2014}+ca^{2014}-a^{2015}}\geq
\frac{(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})^{2}}{(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})-(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})}$
Theo AM-GM ta có:
$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$
$\Rightarrow$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lemanh291280: 14-04-2016 - 16:54
- Tran Thanh Truong yêu thích
#9
Đã gửi 14-04-2016 - 16:02
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ
Năm 2015-2016
Bài 5: (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông kích thước 1.1. Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau. CMR trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần
Xét hình vuông cạnh $2\times 2$,do hình vuông này có mỗi hình vuông nhỏ luôn chung cạnh hoặc chung đỉnh nên tồn tại nhiều nhất 1 số chẵn,nhiều nhất 1 số chia hết cho 3 do đó có ít nhất 2 số lẻ không chia hết cho 3.
Bảng $10\times10$ được chia thành 25 hình vuông có cạnh $2\times 2$ nên có ít nhất 50 số lẻ không chia hết cho 3.
Từ 1-10 có 3 số lẻ không chia hết cho 3 là $1,5,7$,áp dụng nguyên lí Dirichlet,1 trong 3 số trên xuất hiện ít nhất $\left \lfloor \frac{50}{3} \right \rfloor+1=17$ lần
- anhtukhon1, tpdtthltvp, hoilamchi và 7 người khác yêu thích
#10
Đã gửi 14-04-2016 - 17:17
Câu 3.2:
Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác =>$\left\{\begin{matrix} b+c> a\\ c+a> b\\ a+b> c \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} b+c-a> 0\\ c+a-b> 0\\ a+b-c> 0 \end{matrix}\right.$
Không mất tính tổng quát , giả sử $a\geq b\geq c \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2015}\geq b^{2015}\geq a^{2015}\\\frac{a}{b+c-a}\geq \frac{b}{c+a-b}\geq \frac{c}{a+b-c} \end{matrix}\right.$
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $\left ( a^{2015};b^{2015};c^{2015} \right )$ và $ \left ( \frac{a}{b+c-a};\frac{b}{c+a-b};\frac{c}{a+b-c} \right )$ , ta có
$3\left (a^{2015}\frac{a}{b+c-a}+b^{2015}\frac{b}{c+a-b}+c^{2015}\frac{c}{a+b-c} \right )\geq \left ( {a^{2015}}+b^{2015}+c^{2015} \right )\left ( \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-a} \right )$
$\Leftrightarrow$$\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\geq \frac{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}{3}\left ( \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \right )$
Ta cần chứng minh
$\frac{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}{3}\left ( \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \right )\geq \left ( a^{2015}+b^{2015}+c^{2015} \right )$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3 (1)$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
$\sum \frac{a}{b+c-a}=\sum \frac{a^{2}}{a\left ( b+c-a \right )}\geq$$\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\left ( b+c-a \right )}= \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}$ (2)
Từ (1) và (2), ta sẽ chứng minh
$\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\geq 3$
Thật vậy , BĐT cần chưng minh tương đương
$\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left [ 2\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right ) \right ]$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ (luôn đúng)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c <=> Tam giác ABC đều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MarkNguyen: 14-04-2016 - 17:39
- tpdtthltvp, hoilamchi, phamhuy1801 và 3 người khác yêu thích
#11
Đã gửi 14-04-2016 - 18:18
Câu 2.1
$\sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7}=3\left ( x+2 \right )$
$\Leftrightarrow 3\left ( x+2 \right )-\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )= 0$
$\Leftrightarrow \left ( 6x+12 \right )-2\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )=0$
$\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )-2\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )=0$
$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}-\sqrt{2x^{2}+5x+7}-2 \right )=0$
TH1 $\sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7}=0$ (1)
Ta có: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^{2}+11x+19}\geq 0\\\sqrt{2x^{2}+5x+7}\geq 0 \end{matrix}\right.$
(1) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^{2}+11x+19}=0\\\sqrt{2x^{2}+5x+7}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2}+11x+19=0\\2x^{2}+5x+7=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in \O$
TH2 $\sqrt{2x^{2}+11x+19}-\sqrt{2x^{2}+5x+7}-2=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}+11x+19}=2+\sqrt{2x^{2}+5x+7}$
$2x^{2}+11x+19=4+2x^{2}+5x+7+4\sqrt{2x^{2}+5x+7}$
$\Leftrightarrow 3x+4=2\sqrt{2x^{2}+5x+7}$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-4}{3}\\\left ( 3x+4 \right )^{2}=4\left ( 2x^{2}+5x+7 \right ) \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-4}{3}\\x^{2}+4x-12=0 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=2$
Vậy pt có nghiệm duy nhất x=2
#12
Đã gửi 14-04-2016 - 20:54
Bài I
1.$a^{3}+b^{3}=2(c^{3}-8d^{3})=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3c^{3}-15d^{3}\vdots 3$ .Mà ta có$a^{3}-a\vdots 3=>\sum a^{3}-\sum a\vdots 3=>a+b+c+d\vdots 3$ (đpcm)
2.Xét x=2(loại)
Xét x=3(được)
Xét x>3=>x lẻ => $x^{2}$ chia 3 dư 1;$2^{x}$ chia 3 dư -1=>$x^{2}+2^{x}\vdots 3$ .Vậy x=3
Bài II
1.=>$\sqrt{2x^{2}+11x+19}-\sqrt{2x^{2}+5x+7}=2=>2\sqrt{2x^{2}+11x+19}=3x+8=>$ $4(2x^{2}+11x+19)=9x^{2}+48x+64=>x^{2}+4x-12=0=>x=2$
2.=>$\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=>(x+y)(y+z)(z+x)=0=>(x;y;z)=(3;2;-2)$ và các hoán vị
Bài III
1.Ta có $(4x+3)(2x-1)^{2}\geq 0=>\frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x-1=>P\geq 4(x+y+z)-3\geq 3$
- Maonus yêu thích
#13
Đã gửi 15-04-2016 - 00:21
Theo AM-GM ta có:
$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
Cụ thể AM-GM thế nào bạn?
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*
#14
Đã gửi 15-04-2016 - 00:24
$\sum \frac{a^{2}}{b+c-a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c\Rightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq \Rightarrow \sum a^{2014}(\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq 0\Rightarrow dpcm\Rightarrow \bigstar$
Bước cuối cùng trước đpcm làm như thế có ổn lắm không bạn ?
TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG
*Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của tư duy logic*
#15
Đã gửi 15-04-2016 - 12:28
Có cách giải tổng quát , mình đăng lên cho mọi người tham khảo :
CMR : $\sum \frac{a^{n}}{b+c-a}\geq \sum a^{n-1}$ với n là số tự nhiên
+) với n=0;n=1 =>đúng (tự chứng minh nhé)
+) với $n\geq 2$ ta có : $(a^{n-2}-b^{n-2})(a-b)\geq 0 => a^{n-1}+b^{n-1}\geq a^{n-2}b+ab^{n-2} (1)$
tương tự => $b^{n-1}+c^{n-1}\geq b^{n-2}c+bc^{n-2} (2) ;c^{n-1}+a^{n-1}\geq a^{n-2}c+ac^{n-2}(3)$
Mặt khác , ad BĐT Cosi cho hai số dương ta có :
$\frac{a^{n}}{-a+b+c}+(-a+b+c)a^{n-2}\geq 2\sqrt{\frac{a^{n}}{-a+b+c}.(-a+b+c)a^{n-2}}=2a^{n-1}$
=>$\frac{a^{n}}{-a+b+c}+a^{n-2}b+a^{n-2}c\geq 3a^{n-1}(4)$
tương tự :
$\frac{b^{n}}{a-b+c}+ab^{n-2}+b^{n-2}c\geq3b^{n-2}(5);\frac{c^{n}}{a+b-c}+ac^{n-2}+bc^{n-2} \geq 3c^{n-1}(6)$
Từ $(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ => đpcm
- nguyentinh và vu hang thích
#16
Đã gửi 15-04-2016 - 13:24
#17
Đã gửi 15-04-2016 - 19:57
Bước cuối cùng trước đpcm làm như thế có ổn lắm không bạn ?
Tại sao không?
p/s: Ai làm bài hình 2b cái
#18
Đã gửi 16-04-2016 - 05:58
Ta có:
$\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}=\sum \frac{a^{4030}}{ba^{2014}+ca^{2014}-a^{2015}}\geq \frac{(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})^{2}}{(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})-(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})}$
Theo AM-GM ta có:
$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
Anh giải thích rõ hơn được không ạ
#19
Đã gửi 16-04-2016 - 09:51
Anh giải thích rõ hơn được không ạ
Theo AM-GM ta có:
$a^{2015}+a^{2015}+...+a^{2015}+b^{2015}\geq 2015\sqrt[2015]{(a^{2014}b)^{2015}}=2015a^{2014}b$
TT$\Rightarrow 2015(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})\geq 2015(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)$
$\Rightarrow$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 16-04-2016 - 09:53
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#20
Đã gửi 16-04-2016 - 10:09
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh