Chủ đề này có 24 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

[anhtukhon1]

13001070_10208636162278398_2506054039610135163_n.jpg

Sao nhanh vậy mình còn vừa về @@!

$\frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x^{2}\Leftrightarrow \frac{4}{3-4x^{2}}\geq 4x\Leftrightarrow 1\geq 3x-4x^{3}\Leftrightarrow 4x^{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 3x(cosi)\Rightarrow \frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x^{2}\Rightarrow P\geq 4(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 4(xy+yz+zx)=3$

p/s: Mình còn câu 4/2/b với bài tổ hợp làm sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 14-04-2016 - 11:58

[anhtukhon1]

$\sum \frac{a^{2}}{b+c-a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c\Rightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq \Rightarrow \sum a^{2014}(\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq 0\Rightarrow dpcm\Rightarrow \bigstar$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhtukhon1: 14-04-2016 - 12:16

[Dung Gia]

                 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ

                           Năm 2015-2016

ngày 14 tháng 4 năm 2016                                                                    thời gian :150'

 

 

Bài 1(5 diểm) : 1.Cho các số nguyên a,b,c,d thỏa mãn : $a^{3}+b^{3}=2(c^{3}-8d^{3})$

      CMR : (a+b+c+d) chia hết cho 3

            2. Tìm tất cả các số nguyên tố x sao cho $2^{x}+x^{2}$ là số nguyên tố

Bài 2(5 điểm):

1.Giải phương trình ${\sqrt{2x^{2}+11x+19}}+\sqrt{2x^{2}+5x+7}=3(x+2)$

2.Tìm tất cả các bộ số (x;y;z)thỏa mãn$x+y+z=3$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=17$

Bài 3 (3 điểm): Cho 3 số x,y,z, thỏa mãn : 0<x;y;z<$\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $xy+yz+xz$=$\frac{3}{4}$

tìm GTNN của P=$\frac{4x}{3-4x^{2}}+\frac{4y}{3-4y^{2}}+\frac{4z}{3-4z^{2}}$

2. cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh tam giác . 

CmR : $\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}\geq \sum a^{2015}$

Bài 4(6 điểm) :Cho tam giác ABC cạnh bằng a.Lấy điểm Q bất kì trên cạnh BC (Q#B,C).Trên tia đối tia BA lấy điểm P sao cho CQ.AP$a^{2}$.Gọi M là giao điểm của AQ và CP.

  1. CM 4 điểm A,B,M,C thuộc 1 đường tròn

   2.Gọi I,J,K lần lượt là hình chiếu của M lên AB,BC,CA.

     a.Xác định vị trí của Q để đọ dài IK lớn nhất

     b.CM $MI^{2} +MJ^{2}+MK^{2}$không đổi khi Q thay đổi trên cạnh BC

Bài 5: (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông kích thước 1.1. Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau.  CMR trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần

                                                                            Hết                                                                               

[NTA1907]

CmR : $\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}\geq \sum a^{2015}$

Ta có:

$\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}=\sum \frac{a^{4030}}{ba^{2014}+ca^{2014}-a^{2015}}\geq \frac{(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})^{2}}{(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})-(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})}$

Theo AM-GM ta có:

$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

[hieuhanghai]

2)

Xét x=2 =>loại

Xét x=3 => T/m

Xét x>3 => x lẻ =>$2^{x}\equiv 2 (mod 3)$

$x^{2}\equiv 1 (mod3)$

=> $2^{x} +x^{2} \equiv 0 (mod 3)(Vô lý)$

Vậy x=3 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieuhanghai: 14-04-2016 - 12:54

[hoduchieu01]

bài hệ (2,-2,3) và các hoán vị

[lemanh291280]

[quote name="NTA1907" post="627049" timestamp="1460611983" date="Hôm nay, 12:33"]
Ta có:
$\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}=\sum \frac{a^{4030}}{ba^{2014}+ca^{2014}-a^{2015}}\geq
\frac{(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})^{2}}{(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})-(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})}$
Theo AM-GM ta có:
$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$
$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lemanh291280: 14-04-2016 - 16:54

[hoctrocuaHolmes]

                 KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ

                           Năm 2015-2016

Bài 5: (1 điểm) Cho bảng ô vuông kích thước 10.10 gồm 100 ô vuông kích thước 1.1. Điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho hai số được điền ở hai ô vuông chung cạnh hoặc chung đỉnh nguyên tố cùng nhau.  CMR trong bảng ô vuông đã cho có một số xuất hiện ít nhất 17 lần

Xét hình vuông cạnh $2\times 2$,do hình vuông này có mỗi hình vuông nhỏ luôn chung cạnh hoặc chung đỉnh nên tồn tại nhiều nhất 1 số chẵn,nhiều nhất 1 số chia hết cho 3 do đó có ít nhất 2 số lẻ không chia hết cho 3.

Bảng $10\times10$ được chia thành 25 hình vuông có cạnh $2\times 2$ nên có ít nhất 50 số lẻ không chia hết cho 3.

Từ 1-10 có 3 số lẻ không chia hết cho 3 là $1,5,7$,áp dụng nguyên lí Dirichlet,1 trong 3 số trên xuất hiện ít nhất $\left \lfloor \frac{50}{3} \right \rfloor+1=17$ lần

[MarkNguyen]

Câu 3.2:                                                                                                              

Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác =>$\left\{\begin{matrix} b+c> a\\ c+a> b\\ a+b> c \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} b+c-a> 0\\ c+a-b> 0\\ a+b-c> 0 \end{matrix}\right.$

Không mất tính tổng quát , giả sử $a\geq b\geq c \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2015}\geq b^{2015}\geq a^{2015}\\\frac{a}{b+c-a}\geq \frac{b}{c+a-b}\geq \frac{c}{a+b-c} \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều $\left ( a^{2015};b^{2015};c^{2015} \right )$ và $ \left ( \frac{a}{b+c-a};\frac{b}{c+a-b};\frac{c}{a+b-c} \right )$ , ta có

$3\left (a^{2015}\frac{a}{b+c-a}+b^{2015}\frac{b}{c+a-b}+c^{2015}\frac{c}{a+b-c} \right )\geq \left ( {a^{2015}}+b^{2015}+c^{2015} \right )\left ( \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-a} \right )$

$\Leftrightarrow$$\frac{a^{2016}}{b+c-a}+\frac{b^{2016}}{c+a-b}+\frac{c^{2016}}{a+b-c}\geq \frac{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}{3}\left ( \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \right )$

Ta cần chứng minh

$\frac{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}{3}\left ( \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \right )\geq \left ( a^{2015}+b^{2015}+c^{2015} \right )$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3 (1)$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

$\sum \frac{a}{b+c-a}=\sum \frac{a^{2}}{a\left ( b+c-a \right )}\geq$$\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{\sum a\left ( b+c-a \right )}= \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}$ (2)

Từ (1) và (2), ta sẽ chứng minh

$\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\geq 3$

Thật vậy , BĐT cần chưng minh tương đương

$\left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3\left [ 2\left ( ab+bc+ca \right )-\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right ) \right ]$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ (luôn đúng) 

=> đpcm 

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c <=> Tam giác ABC đều

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MarkNguyen: 14-04-2016 - 17:39

[MarkNguyen]

Câu 2.1

$\sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7}=3\left ( x+2 \right )$

$\Leftrightarrow 3\left ( x+2 \right )-\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )= 0$

$\Leftrightarrow \left ( 6x+12 \right )-2\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )=0$

$\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )-2\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7} \right )\left ( \sqrt{2x^{2}+11x+19}-\sqrt{2x^{2}+5x+7}-2 \right )=0$

TH1 $\sqrt{2x^{2}+11x+19}+\sqrt{2x^{2}+5x+7}=0$ (1)

Ta có: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^{2}+11x+19}\geq 0\\\sqrt{2x^{2}+5x+7}\geq 0 \end{matrix}\right.$

(1) $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x^{2}+11x+19}=0\\\sqrt{2x^{2}+5x+7}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^{2}+11x+19=0\\2x^{2}+5x+7=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in \O$

TH2 $\sqrt{2x^{2}+11x+19}-\sqrt{2x^{2}+5x+7}-2=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}+11x+19}=2+\sqrt{2x^{2}+5x+7}$

$2x^{2}+11x+19=4+2x^{2}+5x+7+4\sqrt{2x^{2}+5x+7}$

$\Leftrightarrow 3x+4=2\sqrt{2x^{2}+5x+7}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-4}{3}\\\left ( 3x+4 \right )^{2}=4\left ( 2x^{2}+5x+7 \right ) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{-4}{3}\\x^{2}+4x-12=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=2$

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=2

 

[dreamcatcher170201]

13001070_10208636162278398_2506054039610135163_n.jpg

Bài I
1.$a^{3}+b^{3}=2(c^{3}-8d^{3})=>a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}=3c^{3}-15d^{3}\vdots 3$ .Mà ta có$a^{3}-a\vdots 3=>\sum a^{3}-\sum a\vdots 3=>a+b+c+d\vdots 3$ (đpcm)
2.Xét x=2(loại)
  Xét x=3(được)
Xét x>3=>x lẻ => $x^{2}$ chia 3 dư 1;$2^{x}$ chia 3 dư -1=>$x^{2}+2^{x}\vdots 3$ .Vậy x=3
Bài II
1.=>$\sqrt{2x^{2}+11x+19}-\sqrt{2x^{2}+5x+7}=2=>2\sqrt{2x^{2}+11x+19}=3x+8=>$ $4(2x^{2}+11x+19)=9x^{2}+48x+64=>x^{2}+4x-12=0=>x=2$
2.=>$\frac{1}{x+y+z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=>(x+y)(y+z)(z+x)=0=>(x;y;z)=(3;2;-2)$ và các hoán vị
Bài III
1.Ta có $(4x+3)(2x-1)^{2}\geq 0=>\frac{4x}{3-4x^{2}}\geq 4x-1=>P\geq 4(x+y+z)-3\geq 3$

[Tran Thanh Truong]

 

Theo AM-GM ta có:

$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

Cụ thể AM-GM thế nào bạn?

[Tran Thanh Truong]

$\sum \frac{a^{2}}{b+c-a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c\Rightarrow \sum (\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq \Rightarrow \sum a^{2014}(\frac{a^{2}}{b+c-a}-a)\geq 0\Rightarrow dpcm\Rightarrow \bigstar$

Bước cuối cùng trước đpcm làm như thế có ổn lắm không bạn ?

[Dung Gia]

Có cách giải tổng quát , mình đăng lên cho mọi người tham khảo :

CMR : $\sum \frac{a^{n}}{b+c-a}\geq \sum a^{n-1}$ với n là số tự nhiên

+) với n=0;n=1 =>đúng (tự chứng minh nhé)

+) với $n\geq 2$ ta có : $(a^{n-2}-b^{n-2})(a-b)\geq 0 => a^{n-1}+b^{n-1}\geq a^{n-2}b+ab^{n-2} (1)$

tương tự => $b^{n-1}+c^{n-1}\geq b^{n-2}c+bc^{n-2} (2) ;c^{n-1}+a^{n-1}\geq a^{n-2}c+ac^{n-2}(3)$

Mặt khác , ad BĐT Cosi cho hai số dương ta có :

$\frac{a^{n}}{-a+b+c}+(-a+b+c)a^{n-2}\geq 2\sqrt{\frac{a^{n}}{-a+b+c}.(-a+b+c)a^{n-2}}=2a^{n-1}$

     =>$\frac{a^{n}}{-a+b+c}+a^{n-2}b+a^{n-2}c\geq 3a^{n-1}(4)$

tương tự :

$\frac{b^{n}}{a-b+c}+ab^{n-2}+b^{n-2}c\geq3b^{n-2}(5);\frac{c^{n}}{a+b-c}+ac^{n-2}+bc^{n-2} \geq 3c^{n-1}(6)$

Từ $(1)(2)(3)(4)(5)(6)$ => đpcm

[ABCchamhoc]

Bài hình xem thêm ở đây

   http://quangdien.vio...ntry_id/9421563

[anhtukhon1]

Bước cuối cùng trước đpcm làm như thế có ổn lắm không bạn ?

Tại sao không? 

p/s: Ai làm bài hình 2b cái

[ngochapid]

Ta có:

$\sum \frac{a^{2016}}{b+c-a}=\sum \frac{a^{4030}}{ba^{2014}+ca^{2014}-a^{2015}}\geq \frac{(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})^{2}}{(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})-(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})}$

Theo AM-GM ta có:

$(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)+(ab^{2014}+bc^{2014}+ca^{2014})\leq 2(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

Anh giải thích rõ hơn được không ạ 

[NTA1907]

Anh giải thích rõ hơn được không ạ 

Theo AM-GM ta có:

$a^{2015}+a^{2015}+...+a^{2015}+b^{2015}\geq 2015\sqrt[2015]{(a^{2014}b)^{2015}}=2015a^{2014}b$

TT$\Rightarrow 2015(a^{2015}+b^{2015}+c^{2015})\geq 2015(a^{2014}b+b^{2014}c+c^{2014}a)$

$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 16-04-2016 - 09:53

[Hoanganh2001]

de sao de the