Chủ đề này có 2 trả lời

[xuantrandong]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A. P$ là điểm di chuyển trên $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Chứng minh rằng $ST$ luôn đi qua iểm cố định khi $P$ di chuyển.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 15-04-2016 - 10:43
Latex

[revenge]

bổ đề: cho ABC, 2 phân giác trong và ngoài góc A cắt BC tại D,E , (DE) cắt (ABC) tại F thì AF là đường dối trung tam giác 

chứng minh

gọi AD cắt (ABC) tại K và M là trung điểm BC suy ra KM vuông góc BC suy ra EAMK nội tiếp

ta có $\widehat{DFE}=90=\widehat{DFK}\rightarrow \overline{E,F,K}\rightarrow \widehat{DAF}=\widehat{FED}=\widehat{KED}=\widehat{KAM}$

 

ta gọi giao của ND,MD với AB,AC là R,Q theo pascal cho A,N,M,C,D,B thì R,Q,P thẳng ta A,M,Q,P đồng viên do góc DAC=PMQ suy ra AQP=AMN=ABC suy ra QR song song BC bây giờ ta áp dụng desargues cho tam giác FPE và tam giác RDQ suy ra mà RF,DP,EQ đồng qui nên EF,NM,RQ đồng qui tại G, gọi PH cắt MN tại L xét tam giác NPM có NE,MF,PL đồng qui tại H mà EF cắt MN tại G, gọi AT cắt RQ tại K suy ra -1=(GLNM)=(GTFE)=(GKRQ)=P(GTFE) mà do GP song song BC suy ra HT đi qua trung điểm BC đặt tên trung diểm là X , áp dụng pascal cho A,A,N,M,B,C mà G,E,F thằng nên suy ra GA là tiếp tuyến của (ABC) suy ra cũng là tiếp tuyến của (ARQ) mà (GKRQ)=-1 suy ra AT là đường đối trung của tam giác ARQ suy ra AT là đường dối trung của tam giác ABC, gọi giao của DX và (ABC) là V suy ra AV là phân giác ngoài của tam giác ABC, gọi VT cắt (BAC) tại S',gọi DS' cắt tiếp tuyến AG tại G', AT cắt ABC) tại W, gọi giao DW,AV tại X suy ra áp dụng pascal cho S',V,D,A,A,W suy ra X,G',T thẳng mà ta có theo bỏ đề 1  suy ra X thuộc BC,gọi AD cắt BC tại Y suy ra (XYCB)=-1 , gọi giao của XT và AB,AC là E',F' suy ra BE',CF' ,AD đồng qui suy ra F' trùng F, E' trùng E suy ra G' trùng G suy ra S' trùng S suy ra ST di qua trung diểm cung BC chứa A

 

ps: bạn nào rảnh vẽ hình trên geogebra giùm, mình không rành cách vẽ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi revenge: 22-04-2016 - 20:16

[revenge]

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A. P$ là điểm di chuyển trên $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Chứng minh rằng $ST$ luôn đi qua iểm cố định khi $P$ di chuyển.

 

bài này vẫn đúng nếu AD không phải là đường phân giác

đề: cho tam giác ABC nội tiếp (O) lấy D bất kì trên cung BC không chứa A , P nằm trên doạn  $AD. PB, PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E, F$ và cắt $(O)$ tại $M,N$ khác $B,C. MN$ giao $EF$ tại $G. GD$ cắt $(O)$ tại $S$ khác $D. NE$ giao $MF$ tại $H. PH$ giao $EF$ tại $T$.

Chứng minh rằng $ST$ luôn đi qua iểm cố định khi $P$ di chuyển.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi revenge: 23-04-2016 - 08:17