Find all two variables polynomials $P(x,y)$ such that for any real numbers $a,b,c$, we have
$P(ab,c^2-2)+P(ac,b^2-2)+P(bc,a^2-2)=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 16-04-2016 - 10:25
Find all two variables polynomials $P(x,y)$ such that for any real numbers $a,b,c$, we have
$P(ab,c^2-2)+P(ac,b^2-2)+P(bc,a^2-2)=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ego: 16-04-2016 - 10:25
The unique constant solution is $P \equiv 0$. Assuming that $P$ is not a constant.
\[P\left( {bc,{a^2} - 2} \right) + P\left( {ca,{b^2} - 2} \right) + P\left( {ab,{c^2} - 2} \right) = 0\,\left( 1 \right)\]
$a=b=c:=0, (1) \Rightarrow P(0,-2)=0$
$b=c:=0, (1) \Rightarrow P(0,a^2-2)=0 \forall a \Rightarrow P(0,x)=0 \forall x\, (2)$
$a:=0, (1) \Rightarrow P(bc,-2)=0 \forall b,c \Rightarrow P(x,-2)=0 \forall x\, (3)$
For a given $k \in \mathbb{R}$:
$b=c:= k , (1) \Rightarrow P(k^2,a^2-2)+2P(ka,k^2-2)=0$
$b=c:=-k, (1) \Rightarrow P(k^2,a^2-2)+2P(-ka,k^2-2)=0$
We observe that $P(ka,k^2-2)=P(-ka,k^2-2) \forall k\in \mathbb{R}, a \in \mathbb{R} \Rightarrow P(x,y)=P(x,-y) \forall x\in \mathbb{R}, y \ge -2\, (4)$.
Note that $(4)$ is also valable for all real $x,y$ because $P$ is polynominal.
We induce the form of $P$ from $(2),(3),(4)$: $$P(x,y)=x^{2t}(y+2)^m R(x,y)$$
where $R(0,y) \ne 0, R(x,-2) \ne 0$.
Replacing the form into $(1)$:
\[{b^{2t}}{c^{2t}}{a^{2m}}R\left( {bc,{a^2} - 2} \right) + {c^{2t}}{a^{2t}}{b^{2m}}R\left( {ca,{b^2} - 2} \right) + {a^{2t}}{b^{2t}}{c^{2m}}R\left( {ab,{c^2} - 2} \right) = 0\]
If $t=m$, we simplify by ${b^{2t}}{c^{2t}}{a^{2m}}$: \[R\left( {bc,{a^2} - 2} \right) + R\left( {ca,{b^2} - 2} \right) + R\left( {ab,{c^2} - 2} \right) = 0\]
By following the demonstration above, we'll see that $R(0,y)=0$, which makes contradiction.
If $t<m$, we simplify by ${b^{2t}}{c^{2t}}{a^{2t}}$: \[{a^{2m - 2t}}R\left( {bc,{a^2} - 2} \right) + {b^{2m - 2t}}R\left( {ca,{b^2} - 2} \right) + {c^{2m - 2t}}R\left( {ab,{c^2} - 2} \right) = 0\]
Take $a = 0,b = c \Rightarrow 2{b^{2m - 2t}}R\left( {0,{b^2} - 2} \right) = 0 \Rightarrow R\left( {0,y} \right) = 0:contradict$
If $t>m$, we simplify by ${b^{2m}}{c^{2m}}{a^{2m}}$:\[{b^d}{c^d}R\left( {bc,{a^2} - 2} \right) + {c^d}{a^d}R\left( {ca,{b^2} - 2} \right) + {a^d}{b^d}R\left( {ab,{c^2} - 2} \right) = 0\]
where $d=2t-2m$.
For $a = 0: \,\,{b^d}{c^d}R\left( {bc, - 2} \right) = 0 \Rightarrow R\left( {x, - 2} \right) = 0:contradict$
Hence, $P\equiv 0$ is the solution.
Thảo luận chung →
Lịch sử toán học →
Chứng minh của Landau cho bài toán gấp đôi thể tích khối lập phươngBắt đầu bởi manguish, 07-07-2023 geometry, algebra và . |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tìm dạng chuẩn JordanBắt đầu bởi bangbang1412, 12-07-2017 jordan normal form, eigenvalue và . |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
$|A - XE| = \sum_{i=0}^{n} c_{i}(-X)^{n-i}$Bắt đầu bởi bangbang1412, 10-07-2017 matrix, polynomial |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
$P^2(x)-P(x^2)=2x^{100},\;\forall x\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi Juliel, 16-05-2014 polynomial |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh