Chủ đề này có 5 trả lời

[tquangmh]

Bài 1 :

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$

Tìm min 

$P=\frac{bc}{a^{2}(b+c)}+\frac{ca}{b^{2}(c+a)}+\frac{ab}{c^{2}(a+b)}$

 

Bài 2 :

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$

Chứng minh :

$7(ab+bc+ca)\leq 2+9abc$

 

Bài 3 :

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh : 

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

 

P/S : Các bạn giải càng nhiều cách càng tốt !

[PlanBbyFESN]

Bài 2 :

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$

Chứng minh :

$7(ab+bc+ca)\leq 2+9abc$

 

 

Bất đẳng thức ở dạng thuần nhất tương đương:

 

$7(ab+bc+ca)\leq 2+9abc\Leftrightarrow 7(ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 2(a+b+c)^{3}+9abc$

 

Khai triển và thu gọn:

 

$\Leftrightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^{2}+(b+c)(b-c)^{2}+(c+a)(c-a)^{2}\geq 0$

..........................................

[PlanBbyFESN]

Bài 1 :

Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$

Tìm min 

$P=\frac{bc}{a^{2}(b+c)}+\frac{ca}{b^{2}(c+a)}+\frac{ab}{c^{2}(a+b)}$

 

$(a;b;c)\rightarrow (\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})$ $\Rightarrow xyz=1$

 

$\Rightarrow \frac{bc}{a^{2}(b+c)}\rightarrow \frac{x}{yz(y+z)}=\frac{x^{2}}{y+z}$

 

$\Rightarrow \frac{bc}{a^{2}(b+c)}+\frac{ca}{b^{2}(c+a)}+\frac{ab}{c^{2}(a+b)}\rightarrow \sum \frac{x^{2}}{y+z}\geq \frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}$

................................................

[VermouthS]

 

 

Bài 3 :

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh : 

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

 

 

 

Đặt x = b+c-a, y = a+c-b, z = a+b-c

 

=> $a=\frac{y+z}{2}, b=\frac{x+z}{2}, c=\frac{x+y}{2}$

 

$A = \frac{2y+2z}{x} + \frac{9x+9y}{2y} + \frac{8x+8y}{z}=(\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y})+(\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z})+(\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z})\geq 2\sqrt{9}+2\sqrt{16}+2\sqrt{36}=26$

 

Dấu bằng xảy ra khi $9x^{2}=4y^{2},8x^{2}=2z^{2},16y^{2}=9z^{2}\Leftrightarrow a:b:c=7:6:5$

[trungvmfcsp]

Mình xin bổ sung cách khác bài 1: 

$P=\frac{bc}{a^2(b+c)}+\frac{ca}{b^2(c+a)}+\frac{ab}{c^2(a+b)} =\frac{(bc)^2}{a(b+c)}+\frac{(ca)^2}{b(c+a)}+\frac{(ab)^2}{c(a+b)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

[lily evans]

 

Bài 3 :

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh : 

$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}\geq 26$

 

 

Ta có:$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}=(\frac{4a}{b+c-a}+2)+(\frac{9b}{a+c-b}+4,5)+(\frac{16c}{a+b-c}+8)-14,5=\frac{2(a+b+c)}{b+c-a}+\frac{4,5(a+b+c)}{a+c-b}+\frac{8(a+b+c)}{a+b-c}-14,5\geq (a+b+c)\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{4,5}+\sqrt{8})^{2}}{a+b+c}-14,5=26$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lily evans: 23-04-2016 - 23:07