Chủ đề này có 1 trả lời

[tuyphong2911]

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O), trên cung nhỏ BC lấy điểm E, trên cung nhỏ AD lấy điểm F. Gọi M là giao điểm của AE và BF, N là giao điểm của DE và CF. Chứng minh: M, O, N thẳng hàng

[vkhoa]

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O), trên cung nhỏ BC lấy điểm E, trên cung nhỏ AD lấy điểm F. Gọi M là giao điểm của AE và BF, N là giao điểm của DE và CF. Chứng minh: M, O, N thẳng hàng

lời giải bài này đã từng được đăng trên tạp chí toán học tuổi trẻ

cm:

Ta có AD =BC
$\Rightarrow \widehat{AED} =\widehat{BFC}$ (1)
gọi G là điểm đối xứng với E qua MN
$\Rightarrow \widehat{MGN} =\widehat{AED}$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow \widehat{MGN} =\widehat{MFN}$
$\Rightarrow$ MNFG nội tiếp
$\Rightarrow\widehat{GMF} =\widehat{GNF}$
$\Leftrightarrow\widehat{GMB} =\widehat{GNC}$ (3)
có $\triangle MAB\sim\triangle MFE$ (g, g)
$\Rightarrow \frac{ME}{MB} =\frac{FE}{AB}$ (4)
có $\triangle NDC\sim\triangle NFE$ (g, g)
$\Rightarrow \frac{NE}{NC} =\frac{FE}{DC} =\frac{FE}{AB}$ (5)
từ (4, 5)$\Rightarrow\frac{ME}{MB} =\frac{NE}{NC}$
$\Leftrightarrow\frac{ME}{NE} =\frac{MB}{NC} =\frac{GM}{GN}$ (6)
từ (3, 6)$\Rightarrow\triangle GMB\sim\triangle GNC$ (c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{GBF} =\widehat{GCF}$
$\Rightarrow $ BCFG nội tiếp
$\Rightarrow $G thuộc đường tròn (O)
$\Rightarrow OG =OE$
$\Rightarrow$ O thuộc MN(đpcm)

Hình gửi kèm

•