Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $AE=AF$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 nguyentan1983

nguyentan1983

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

Đã gửi 16-04-2016 - 07:53

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, một hình vuông $MNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($M$ thuộc $AB, N$ thuộc $AC, P, Q$ thuộc $BC$). CM cắt NP tại $E$; BN cắt MQ tại $F$. Chứng minh $AE = AF$ và $\widehat{EAC}=\widehat{FAB}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 16-04-2016 - 13:16
Latex


#2 nguyentan1983

nguyentan1983

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

Đã gửi 18-04-2016 - 21:30

cac ban giai giup voi



#3 vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 895 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{DarkCyan}{\text{Đà Nẵng}}$
  • Sở thích:Toán học, đọc sách

Đã gửi 20-04-2016 - 08:51

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, một hình vuông $MNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($M$ thuộc $AB, N$ thuộc $AC, P, Q$ thuộc $BC$). CM cắt NP tại $E$; BN cắt MQ tại $F$. Chứng minh $AE = AF$ và $\widehat{EAC}=\widehat{FAB}$

Gọi O là tâm của hình vuông MNPQ
Ta có $\frac{EP}{EN} =\frac{CP}{MN} =\frac{CP}{PN}$ (1)
có $\frac{FM}{FQ} =\frac{MN}{QB} =\frac{MQ}{QB}$ (2)
có $\triangle CPN \sim\triangle MQB$ (g, g)
$\Rightarrow \frac{CP}{PN} =\frac{MQ}{QB}$ (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\frac{EP}{EN} =\frac{FM}{FQ}$
$\Leftrightarrow\frac{EP}{EP +EN} =\frac{FM}{FM +FQ}\Leftrightarrow\frac{EP}{NP}=\frac{FM}{MQ}\Leftrightarrow EP =FM$
mà EP //FM $\Rightarrow$ EPFM là hình bình hành
$\Rightarrow$ O là trung điểm EF(4)
hạ QG vuông góc AB tại G, OG cắt MQ tại F'
ta có OMGQ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{OGM} =\widehat{OQM} =\widehat{OMQ} =\widehat{OGQ}$
$\Rightarrow$ GO là phân giác góc MGQ
$\Rightarrow\frac{F'M}{F'Q} =\frac{GM}{GQ}$
$=\frac{QM}{QB}$(vì $\triangle QGM\sim\triangle BQM $(g, g)) (5)
từ (2, 5) $\Rightarrow\frac{F'M}{F'Q} =\frac{FM}{FQ}$
$\Rightarrow F'\equiv F$
$\Rightarrow$ E, F, O, G thẳng hàng (6)
có $\triangle QGM =\triangle MAN$ (g, c, g)
$\Rightarrow$ QG =MA (7)
có OQ =OM và $\widehat{OQG} =\widehat{OMA}$(vì OMGQ nội tiếp) (8)
từ (7, 8)$\Rightarrow \triangle OQG=\triangle OMA$(c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{QOG} =\widehat{AOM}$
$\Leftrightarrow\widehat{AOG} =\widehat{MOQ} =90^\circ$ (9)
từ (4, 6, 9)$\Rightarrow$tam giác AEF cân tại A (đpcm)
$\Rightarrow$ AO là phân giác góc EAF (10)
có $\widehat{OAM} =\widehat{AGQ} =45^\circ$
$\Rightarrow$AO là phân giác góc CAB (11)
từ (10, 11)$\Rightarrow\widehat{BAF} =\widehat{CAE}$ (đpcm)

Hình gửi kèm

  • Cho tam giác ABC vuông tại A, một hình vuông MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M thuộc AB,N thuộc AC,P,Q thuộc BC). CM cắt NP tại E; BN cắt MQ tại F. Chứng minh AE=AF và ˆEAC=ˆFAB.png

(Hỏi cách giải bài toán vận tải suy biến?)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)

#4 nguyentan1983

nguyentan1983

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết

Đã gửi 21-04-2016 - 23:26

Cảm ơn bạn. Nhưng tôi chỉ muốn dùng kiến thức hình học 8 để làm thôi



#5 vkhoa

vkhoa

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 895 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{DarkCyan}{\text{Đà Nẵng}}$
  • Sở thích:Toán học, đọc sách

Đã gửi 24-04-2016 - 22:15

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, một hình vuông $MNPQ$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($M$ thuộc $AB, N$ thuộc $AC, P, Q$ thuộc $BC$). CM cắt NP tại $E$; BN cắt MQ tại $F$. Chứng minh $AE = AF$ và $\widehat{EAC}=\widehat{FAB}$

 

 

Cảm ơn bạn. Nhưng tôi chỉ muốn dùng kiến thức hình học 8 để làm thôi

 

thế thì sửa lại bài viết một chút

Giả sử AB <AC
Gọi O là tâm của hình vuông MNPQ
Ta có $\frac{EP}{EN} =\frac{CP}{MN} =\frac{CP}{PN}$ (1)
có $\frac{FM}{FQ} =\frac{MN}{QB} =\frac{MQ}{QB}$ (2)
có $\triangle CPN \sim\triangle MQB$ (g, g)
$\Rightarrow \frac{CP}{PN} =\frac{MQ}{QB}$ (3)
từ (1, 2, 3)$\Rightarrow\frac{EP}{EN} =\frac{FM}{FQ}$
$\Leftrightarrow\frac{EP}{EP +EN} =\frac{FM}{FM +FQ}\Leftrightarrow\frac{EP}{NP}=\frac{FM}{MQ}\Leftrightarrow EP =FM$
mà EP //FM $\Rightarrow$ EPFM là hình bình hành
$\Rightarrow$ O là trung điểm EF(4)
hạ QG vuông góc AB tại G
có $\frac{QG}{MG}=\frac{QB}{QM} =\frac{AB}{AC} <1$
$\Rightarrow$QG <MG$\Rightarrow\widehat{QOG}<\widehat{MOG}$ (5)
gọi I là điểm đối xứng với Q qua OG (6)
từ (5, 6)$\Rightarrow$I nằm trong góc $\widehat{GOM}$
có $\widehat{MIO}+\widehat{GIO} =\widehat{IMO} +\widehat{GQO}$ (7)
xét 2 trường hợp
*TH1, nếu I nằm khác phía với O so với GM
$\Rightarrow\widehat{MIO}+\widehat{GIO}<180^\circ$ (8)
và $\widehat{IMO}>\widehat{GMO} =180^\circ -\widehat{GQO} =180^\circ -\widehat{GIO}$
$\Leftarrow\widehat{MIO} +\widehat{GIO}>180^\circ$ (9)
có (8) và (9) mâu thuẫn nhau$\Rightarrow$ TH1 là sai (10)
*TH2, nếu I nằm cùng phía với O so với GM
cminh tương tự như trên dẫn đến mâu thuẫn
$\Rightarrow$ TH2 là sai (11)
từ (10, 11)$\Rightarrow$ I nằm trên GM
$\Rightarrow$GO là phân giác $\widehat{QGM}$ (12)
có $\frac{MQ}{QB} =\frac{MG}{GQ}$ (13)
từ (2, 13)$\Rightarrow\frac{GM}{GQ} =\frac{FM}{FQ}$
$\Rightarrow$GF là phân giác $\widehat{QGM}$ (14)
từ (12, 14)$\Rightarrow$G, F, O ,E thẳng hàng (15)

có $\triangle QGM =\triangle MAN$ (g, c, g)
$\Rightarrow$ QG =MA (16)
có OQ =OM và $\widehat{OQG} =\widehat{OMA}$(góc có cạnh tương ứng vuông góc) (17)
từ (16, 17)$\Rightarrow \triangle OQG=\triangle OMA$(c, g, c)
$\Rightarrow \widehat{QOG} =\widehat{AOM}$
$\Leftrightarrow\widehat{AOG} =\widehat{MOQ} =90^\circ$ (18)
từ (4, 15, 18)$\Rightarrow$tam giác AEF cân tại A (đpcm)
$\Rightarrow$ AO là phân giác góc EAF (19)
có $\widehat{OAM} =\widehat{AGQ} =45^\circ$
$\Rightarrow$AO là phân giác góc CAB (20)
từ (19, 20)$\Rightarrow\widehat{BAF} =\widehat{CAE}$ (đpcm)

Hình gửi kèm

  • Cho tam giác ABC vuông tại A, một hình vuông MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M thuộc AB,N thuộc AC,P,Q thuộc BC). CM cắt NP tại E; BN cắt MQ tại F. Chứng minh AE=AF và ˆEAC=ˆFAB 2.png

(Hỏi cách giải bài toán vận tải suy biến?)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh