Chủ đề này có 2 trả lời

[san1201]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$.

Tìm max của $P=a+b+c$ 
Cách giải đại số nhé các bạn, lượng giác mình chưa học...

[81NMT23]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$.

Tìm max của $P=a+b+c$ 
Cách giải đại số nhé các bạn, lượng giác mình chưa học...

Áp dụng BĐT Schur ta có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ 9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)(a+b+c)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant (a+b+c)^{2}$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{9}{4}\geqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{9abc}{a+b+c}=2-4abc+\frac{9abc}{a+b+c} \Leftrightarrow \frac{1}{4}+4abc\geqslant \frac{9abc}{a+b+c}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{4}+4abc(a+b+c)\geqslant 9abc$

Áp dụng BĐT Cauchy 3 số ta có:$\frac{a+b+c}{4}+2abc(a+b+c)\+2abc(a+b+c)\geqslant 3(a+b+c)\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geqslant 9abc$

$\Rightarrow \frac{9}{4}\geqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant (a+b+c)^{2}\Rightarrow \frac{3}{2}\geqslant a+b+c$

Vậy max P=\frac{3}{2} khi a=b=c=1/2

[manhbbltvp]

Áp dụng BĐT Schur ta có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})+ 9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)(a+b+c)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant (a+b+c)^{2}$

Ta sẽ chứng minh: $\frac{9}{4}\geqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{9abc}{a+b+c}=2-4abc+\frac{9abc}{a+b+c} \Leftrightarrow \frac{1}{4}+4abc\geqslant \frac{9abc}{a+b+c}\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{4}+4abc(a+b+c)\geqslant 9abc$

Áp dụng BĐT Cauchy 3 số ta có:$\frac{a+b+c}{4}+2abc(a+b+c)\+2abc(a+b+c)\geqslant 3(a+b+c)\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geqslant 9abc$

$\Rightarrow \frac{9}{4}\geqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+\frac{9abc}{a+b+c}\geqslant (a+b+c)^{2}\Rightarrow \frac{3}{2}\geqslant a+b+c$

Vậy max P=\frac{3}{2} khi a=b=c=1/2

đoán dược max P  hay thế