Chủ đề này có 3 trả lời

[Nhok Tung]

Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh các BĐT :

1. $\left ( a+\frac{bc}{a} \right )\left ( b+\frac{ca}{b} \right )\left ( c+\frac{ab}{c} \right )\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

2. $(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

3. $\sum \frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}$

[NTA1907]

Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh các BĐT :

3. $\sum \frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}$

Ta có:

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{2c+b+a}\geq \frac{2}{a+2b+c}$

Tương tự cộng lại ta có đpcm

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$

[Rias Gremory]

2. $(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

 

$VT=(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c).(\prod (a+b))}$

Cần chứng minh $(1+a)(1+b)(1+c).\prod (a+b)\geq 8(a+bc)(b+ac)(c+ab) $

Có : $(1+a)(b+c)=(b+ac)+(c+ab) \geq 2\sqrt{(b+ac)(c+ab)}$

Tương Tự rồi nhân lại là OK 

[Rias Gremory]

Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh các BĐT :

1. $\left ( a+\frac{bc}{a} \right )\left ( b+\frac{ca}{b} \right )\left ( c+\frac{ab}{c} \right )\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

$\Leftrightarrow$ $(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab) \geq 4abc\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

$\Leftrightarrow$ $[(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)]^{4} \geq 4a^{3}b^{3}c^{3}$$.(a^{3}+b^{3})$$(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3}).(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)$

Ta lại có $[(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)]^{2}=[c(a^{3}+b^{3})+ab(ab+c^{2})]^{2} \geq 4abc(a^{3}+b^{3})(c^{2}+ab)$

Tương tự rồi nhân lại