Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducanh2002: 17-04-2016 - 11:38
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducanh2002: 17-04-2016 - 11:38
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
Bđt$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+2(ab+bc+ca)\geq 9$
Theo AM-GM ta có:
$(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})+2(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(ab+bc+ca)^{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})}=3\sqrt[3]{(ab+bc+ca)^{2}.\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{4}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}=3\sqrt[3]{3(a+b+c)^{2}}=9$(đpcm)
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 17-04-2016 - 11:52
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh