Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducanh2002: 17-04-2016 - 11:38
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
Bắt đầu bởi ducanh2002, 17-04-2016 - 11:35
#2
Đã gửi 17-04-2016 - 11:52
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
Bđt$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+2(ab+bc+ca)\geq 9$
Theo AM-GM ta có:
$(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})+2(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(ab+bc+ca)^{2}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})}=3\sqrt[3]{(ab+bc+ca)^{2}.\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{4}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}=3\sqrt[3]{3(a+b+c)^{2}}=9$(đpcm)
Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 17-04-2016 - 11:52
- pinkyha, dogamer01, tpdtthltvp và 8 người khác yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
